概率树描述多步骤实验：从每个节点出发，为下一步的每个可能结果画一条分支，并在每条分支旁标注其概率。从根节点到叶节点的完整路径对应一个完整的情景。

两条黄金法则：

• 沿路径相乘：完整情景的概率 = 路径上各分支概率的乘积（事件的交集）。
• 路径之间相加：当多个不同情景满足条件时，将各路径概率相加（互斥事件的并集）。

有放回与无放回的对比：

• 有放回——将取出的物品放回，组成不变。每步的概率相同，各步骤相互独立。
• 无放回——不放回，组成和总数随之改变，后续分支的概率需要更新（条件概率）。

计算时要善用对立事件：\( P(\text{至少一次}) = 1 - P(\text{一次也没有}) \)。通常"一次也没有"只需一条路径就可以计算出来。

例题 1： 有放回——两次相同抽取

题目： 一个罐子里有 \(4\) 个红球和 \(6\) 个蓝球。取出一个球，放回，再取一次。两个球都是红球的概率是多少？

解答：

1. 共 \(10\) 个球，由于有放回——组成不变，两步相互独立。
2. 每次取到红球的概率：\( \frac{4}{10} = 0.4 \)。
3. 沿"红→红"路径相乘：\( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \)。
4. 即 \( \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} \)。

答案： 概率为 \( 0.16 \)。

例题 2： 无放回——同一问题

题目： 同一个罐子（\(4\) 个红球，\(6\) 个蓝球），无放回地取两个球。两个球都是红球的概率是多少？

解答：

1. 第一次取球：\( \frac{4}{10} \)。
2. 取出一个红球后，剩余 \(3\) 个红球和共 \(9\) 个球，第二次：\( \frac{3}{9} \)。
3. 沿路径相乘：\( \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \)。
4. 小数形式：\( \frac{2}{15} \approx 0.133 \)——低于有放回时的 \(0.16\)，符合预期。

答案： 概率为 \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \)。

例题 3： 路径相加——恰好一个红球

题目： 从罐子（\(4\) 个红球，\(6\) 个蓝球）中有放回地取两个球。恰好取到一个红球的概率是多少？

解答：

1. "恰好一个红球"有两条互斥路径：红-蓝或蓝-红。
2. 路径红→蓝：\( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{24}{100} \)。
3. 路径蓝→红：\( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{100} \)。
4. 两条路径相加：\( \frac{24}{100} + \frac{24}{100} = \frac{48}{100} = 0.48 \)。

答案： 概率为 \( 0.48 \)。

例题 4： 对立事件——至少一次

题目： 掷一颗公正的骰子三次。至少出现一次点数 \(6\) 的概率是多少？

解答：

1. 直接计算需要累加很多路径，因此使用对立事件："从未出现6"。
2. 单次投掷不出现 \(6\) 的概率：\( \frac{5}{6} \)；各次投掷相互独立。
3. 三次都不出现 \(6\) 的概率：\( \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \)。
4. 因此 \( P(\text{至少一次}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0.421 \)。

答案： 概率为 \( \frac{91}{216} \approx 0.421 \)。

例题 5： 三步路径——无放回

题目： 箱子里有 \(5\) 张中奖卡和 \(5\) 张未中奖卡。依次无放回地取出三张卡。三张全部中奖的概率是多少？

解答：

1. 共 \(10\) 张卡。每步分子和分母都需要更新。
2. 第一步：\( \frac{5}{10} \)；第二步（剩余 \(4\) 张中奖，共 \(9\) 张）：\( \frac{4}{9} \)；第三步（\(3\) 张中奖，共 \(8\) 张）：\( \frac{3}{8} \)。
3. 沿路径相乘：\( \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} \)。
4. 化简：\( \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0.083 \)。

答案： 概率为 \( \frac{1}{12} \approx 0.083 \)。

✗ 常见错误： 无放回抽样时，每步仍使用相同的概率。

✓ 正确做法： 无放回时，每次抽取后组成都会改变。在每条分支中同时更新分子（该类别剩余数量）和分母（总物品数量）。

✗ 常见错误： 沿同一路径时将概率相加而非相乘。

✓ 正确做法： 沿路径（一步接一步）需要相乘，因为是事件的交集。相加保留给满足同一条件的不同路径。

✗ 常见错误： 计算"恰好一个"时只考虑一条路径，忘记了相反顺序。

✓ 正确做法： 必须包含所有出现顺序。"恰好一个红球"包括红-蓝和蓝-红两种情况，需要将两条路径的概率相加。

• 沿路径：将各分支概率相乘。
• 路径之间：将互斥路径概率相加。
• 有放回：概率不变，各步骤独立。
• 无放回：概率更新（条件概率）。
• 至少一次： \( P = 1 - P(\text{一次也没有}) \)。
• 每个节点的分支概率之和 \( = 1 \)。