דיאגרמת עץ מתארת ניסוי רב-שלבי: מכל צומת יוצאים ענפים לכל תוצאה אפשרית בשלב הבא, וליד כל ענף רושמים את הסתברותו. מסלול שלם מהשורש עד לעלה מתאר תרחיש מלא.

שני כללי הזהב:

• כפל לאורך מסלול: הסתברות תרחיש שלם = מכפלת ההסתברויות על ענפיו (חיתוך מאורעות).
• חיבור בין מסלולים: כשמספר תרחישים שונים מספקים את התנאי, מחברים את הסתברויות המסלולים (איחוד מאורעות זרים).

עם החזרה מול בלי החזרה:

• עם החזרה — מחזירים את הפריט שנשלף, כך שההרכב נשמר. ההסתברויות בכל שלב זהות והשלבים בלתי תלויים.
• בלי החזרה — לא מחזירים, ולכן ההרכב והסך הכל משתנים, וההסתברויות בענפי השלב הבא מתעדכנות (הסתברות מותנית).

מבדיקה כדאי לזכור את המאורע המשלים: \( P(\text{לפחות אחד}) = 1 - P(\text{אף אחד}) \). לרוב קל יותר לחשב את "אף אחד" במסלול יחיד.

דוגמה 1: עם החזרה — שתי שליפות זהות

השאלה: בכד \(4\) כדורים אדומים ו-\(6\) כחולים. שולפים כדור, מחזירים אותו, ושולפים שוב. מה ההסתברות ששני הכדורים אדומים?

פתרון:

1. סך הכל \(10\) כדורים, ומכיוון שמחזירים — ההרכב נשמר ושני השלבים בלתי תלויים.
2. הסתברות לאדום בכל שליפה: \( \frac{4}{10} = 0.4 \).
3. כפל לאורך המסלול "אדום\(\to\)אדום": \( 0.4 \times 0.4 = 0.16 \).
4. כלומר \( \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{16}{100} \).

תשובה: ההסתברות היא \( 0.16 \).

דוגמה 2: בלי החזרה — אותה שאלה

השאלה: באותו כד (\(4\) אדומים, \(6\) כחולים) שולפים שני כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות ששניהם אדומים?

פתרון:

1. בשליפה הראשונה: \( \frac{4}{10} \).
2. לאחר שהוצא אדום נותרו \(3\) אדומים מתוך \(9\) כדורים, ולכן בשליפה השנייה: \( \frac{3}{9} \).
3. כפל לאורך המסלול: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \).
4. כעשרוני: \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \) — נמוך מ-\(0.16\) של מקרה ההחזרה, כצפוי.

תשובה: ההסתברות היא \( \frac{2}{15} \approx 0.133 \).

דוגמה 3: חיבור מסלולים — בדיוק אדום אחד

השאלה: מהכד (\(4\) אדומים, \(6\) כחולים) שולפים שני כדורים עם החזרה. מה ההסתברות שיתקבל בדיוק כדור אדום אחד?

פתרון:

1. "בדיוק אדום אחד" קורה בשני מסלולים זרים: אדום-כחול, או כחול-אדום.
2. מסלול אדום\(\to\)כחול: \( \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{24}{100} \).
3. מסלול כחול\(\to\)אדום: \( \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{24}{100} \).
4. מחברים בין המסלולים: \( \frac{24}{100} + \frac{24}{100} = \frac{48}{100} = 0.48 \).

תשובה: ההסתברות היא \( 0.48 \).

דוגמה 4: מאורע משלים — לפחות אחד

השאלה: מטילים קובייה הוגנת שלוש פעמים. מה ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את הספרה \(6\)?

פתרון:

1. חישוב ישיר דורש לסכום מסלולים רבים, לכן נשתמש במאורע המשלים: "אף פעם לא \(6\)".
2. הסתברות שלא יוצא \(6\) בהטלה אחת: \( \frac{5}{6} \); ההטלות בלתי תלויות.
3. אף פעם לא \(6\) בשלוש הטלות: \( \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \).
4. לכן \( P(\text{לפחות אחד}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

תשובה: ההסתברות היא \( \frac{91}{216} \approx 0.421 \).

דוגמה 5: מסלול תלת-שלבי בלי החזרה

השאלה: בקופסה \(5\) כרטיסים זוכים ו-\(5\) מפסידים. שולפים שלושה כרטיסים בזה אחר זה בלי החזרה. מה ההסתברות ששלושתם זוכים?

פתרון:

1. סך הכל \(10\) כרטיסים. בכל שלב מתעדכנים גם המונה וגם המכנה.
2. שלב ראשון: \( \frac{5}{10} \); שני (נותרו \(4\) זוכים מ-\(9\)): \( \frac{4}{9} \); שלישי (\(3\) מ-\(8\)): \( \frac{3}{8} \).
3. כפל לאורך המסלול: \( \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{60}{720} \).
4. צמצום: \( \frac{60}{720} = \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

תשובה: ההסתברות היא \( \frac{1}{12} \approx 0.083 \).

✗ טעות נפוצה: משתמשים באותן הסתברויות בכל השלבים גם כשהדגימה בלי החזרה.

✓ הדרך הנכונה: בלי החזרה ההרכב משתנה אחרי כל שליפה. עדכנו גם את המונה (כמה נשארו מהסוג) וגם את המכנה (כמה פריטים בסך הכל) בכל ענף.

✗ טעות נפוצה: מחברים הסתברויות לאורך מסלול אחד במקום לכפול אותן.

✓ הדרך הנכונה: לאורך מסלול (שלב אחרי שלב) כופלים, כי מדובר בחיתוך. חיבור שמור למסלולים נפרדים שמספקים את אותו תנאי.

✗ טעות נפוצה: בשאלת "בדיוק אחד" סופרים רק מסלול אחד ושוכחים את הסדר ההפוך.

✓ הדרך הנכונה: יש לכלול את כל סדרי ההופעה. "בדיוק אדום אחד" כולל גם אדום-כחול וגם כחול-אדום, ולכן יש לחבר את שני המסלולים.

• לאורך מסלול: כופלים הסתברויות הענפים.
• בין מסלולים: מחברים הסתברויות מסלולים זרים.
• עם החזרה: הסתברויות קבועות, שלבים בלתי תלויים.
• בלי החזרה: הסתברויות מתעדכנות (מותנות).
• לפחות אחד: \( P = 1 - P(\text{אף אחד}) \).
• סכום הענפים מכל צומת \( = 1 \).