Una inecuación cuadrática es una expresión de la forma \( ax^2 + bx + c \gt 0 \) (o con \( \lt , \geq, \leq \)), donde \( a \neq 0 \). La función \( y = ax^2 + bx + c \) es una parábola.

La dirección de apertura depende del coeficiente principal \( a \):

• Si \( a \gt 0 \) — la parábola se abre hacia arriba ("sonriente"). Es negativa entre las raíces y positiva fuera de ellas.
• Si \( a \lt 0 \) — la parábola se abre hacia abajo ("triste"). Es positiva entre las raíces y negativa fuera de ellas.

Las raíces son los puntos donde la expresión se anula, es decir las soluciones de \( ax^2 + bx + c = 0 \). Se encuentran factorizando o usando la fórmula:

Denotamos las raíces \( x_1 \lt x_2 \). Dividen la recta numérica en tres intervalos, y en cada uno el signo de la expresión es constante. Basta con comprobar un punto de cada intervalo, o simplemente apoyarse en la forma de la parábola.

Atención a los extremos: con signo estricto (\( \gt , \lt \)) las raíces no pertenecen al conjunto solución (punto abierto ○). Con signo no estricto (\( \geq, \leq \)) las raíces sí pertenecen (punto cerrado ●), porque allí la expresión vale cero.

Ejemplo 1: Parábola hacia arriba — solución entre las raíces

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)

Solución:

1. Hallamos las raíces: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Factorizamos: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \).
2. Las raíces son \( x_1 = 2 \) y \( x_2 = 3 \).
3. El coeficiente principal \( a = 1 \gt 0 \), por lo que la parábola se abre hacia arriba y es negativa entre las raíces.
4. Pedimos dónde la expresión es menor o igual a cero (\( \leq 0 \)), es decir entre las raíces incluidos los extremos.
5. Verificación: \( x = 2.5 \) da \( 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \lt 0 \). Efectivamente negativo.

Respuesta: \( 2 \leq x \leq 3 \)

Ejemplo 2: Parábola hacia arriba — solución fuera de las raíces

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( x^2 + 2x - 15 \gt 0 \)

Solución:

1. Hallamos las raíces: \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). Factorizamos: \( (x + 5)(x - 3) = 0 \).
2. Las raíces son \( x_1 = -5 \) y \( x_2 = 3 \).
3. El coeficiente principal \( a = 1 \gt 0 \), por lo que la parábola es positiva fuera de las raíces.
4. Pedimos dónde la expresión es estrictamente mayor que cero (\( \gt 0 \)), es decir fuera del intervalo sin incluir las raíces.
5. Verificación: \( x = 4 \) da \( 16 + 8 - 15 = 9 \gt 0 \). Efectivamente positivo.

Respuesta: \( x \lt -5 \) o \( x \gt 3 \)

Ejemplo 3: Coeficiente principal negativo — imagen invertida

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( -x^2 + 4x + 5 \geq 0 \)

Solución:

1. Para trabajar cómodamente, multiplicamos ambos miembros por \( -1 \) e invertimos el signo: \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \).
2. Hallamos las raíces: \( (x - 5)(x + 1) = 0 \), es decir \( x_1 = -1 \) y \( x_2 = 5 \).
3. Ahora el coeficiente principal es positivo y la parábola se abre hacia arriba, negativa entre las raíces.
4. Pedimos \( \leq 0 \), así que la solución es el intervalo entre las raíces incluidos los extremos.
5. Verificación en el original: \( x = 0 \) da \( -0 + 0 + 5 = 5 \geq 0 \). Efectivamente en el conjunto solución.

Respuesta: \( -1 \leq x \leq 5 \)

Ejemplo 4: Inecuación ya factorizada

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( x(x - 4) \lt 0 \)

Solución:

1. La expresión ya está factorizada y las raíces se leen directamente: \( x_1 = 0 \) y \( x_2 = 4 \).
2. Desarrollando los paréntesis se obtiene \( x^2 - 4x \), con coeficiente principal \( a = 1 \gt 0 \) — parábola hacia arriba y negativa entre las raíces.
3. Pedimos dónde la expresión es estrictamente menor que cero (\( \lt 0 \)), es decir entre las raíces sin incluirlas.
4. Verificación: \( x = 2 \) da \( 2 \cdot (-2) = -4 \lt 0 \). Efectivamente negativo.

Respuesta: \( 0 \lt x \lt 4 \)

Ejemplo 5: Inecuación sin término lineal

Enunciado: Resuelve la inecuación: \( 2x^2 - 18 \geq 0 \)

Solución:

1. Sacamos factor común: \( 2(x^2 - 9) \geq 0 \), y dividimos entre \( 2 \) (positivo): \( x^2 - 9 \geq 0 \).
2. Factorizamos como diferencia de cuadrados: \( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \), con raíces \( x_1 = -3 \) y \( x_2 = 3 \).
3. El coeficiente principal es positivo, por lo que la parábola es positiva fuera de las raíces.
4. Pedimos \( \geq 0 \), así que la solución es la región exterior a las raíces incluidos los extremos.
5. Verificación: \( x = 4 \) da \( 2 \cdot 16 - 18 = 14 \geq 0 \). Efectivamente en el conjunto solución.

Respuesta: \( x \leq -3 \) o \( x \geq 3 \)

✗ Error común: Se trata la inecuación como una ecuación y se detiene en las raíces, dando una respuesta como \( x = 2, x = 3 \) en lugar de un intervalo.

✓ La forma correcta: Las raíces son solo los límites. La respuesta es un intervalo completo: hay que determinar dónde la expresión es positiva o negativa según la dirección de la parábola y escribir el conjunto correspondiente.

✗ Error común: Se ignora el coeficiente principal negativo y se determina el intervalo como si la parábola se abriera hacia arriba.

✓ La forma correcta: Cuando el coeficiente principal es negativo la parábola se abre hacia abajo, por lo que es positiva entre las raíces y negativa fuera de ellas — justo al contrario del caso habitual. Conviene multiplicar por \( -1 \) e invertir el signo para trabajar siempre con coeficiente positivo.

✗ Error común: Con signo estricto (\( \gt , \lt \)) se incluyen las raíces en la solución, o con signo no estricto (\( \geq, \leq \)) se omiten.

✓ La forma correcta: Las raíces anulan la expresión. Por tanto, se incluyen solo cuando el signo es \( \geq \) o \( \leq \) (punto cerrado), y no se incluyen con \( \gt \) o \( \lt \) (punto abierto).

Puntos clave de la inecuación cuadrática:

• Se ordena frente a cero y se hallan las raíces de \( ax^2 + bx + c = 0 \).
• Parábola hacia arriba (\( a \gt 0 \)): negativa entre las raíces, positiva fuera de ellas.
• Parábola hacia abajo (\( a \lt 0 \)): positiva entre las raíces, negativa fuera de ellas.
• Los extremos se incluyen solo con \( \geq \) y \( \leq \) (punto cerrado), no con \( \gt \) y \( \lt \) (punto abierto).
• Fórmula cuadrática: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).