المتباينة التربيعية هي تعبير من الصورة \( ax^2 + bx + c \gt 0 \) (أو مع \( \lt , \geq, \leq \))، حيث \( a \neq 0 \). الدالة \( y = ax^2 + bx + c \) هي قطع مكافئ.

اتجاه الفتح يعتمد على المعامل القيادي \( a \):

• إذا كان \( a \gt 0 \) — القطع المكافئ مفتوح للأعلى ("مبتسم"). وهو سالب بين الجذرين وموجب خارجهما.
• إذا كان \( a \lt 0 \) — القطع المكافئ مفتوح للأسفل ("حزين"). وهو موجب بين الجذرين وسالب خارجهما.

الجذران هما النقطتان اللتان يتصفر عندهما التعبير، أي حلول المعادلة \( ax^2 + bx + c = 0 \). يمكن إيجادهما بالتحليل إلى عوامل أو باستخدام القانون:

نرمز للجذرين بـ \( x_1 \lt x_2 \). وهما يقسّمان محور الأعداد إلى ثلاثة مجالات، وفي كل منها تكون إشارة التعبير ثابتة. لذا يكفي اختبار نقطة واحدة من كل مجال، أو الاستعانة بشكل القطع المكافئ.

انتبه لإشارة الحدود: في الإشارة الصارمة (\( \gt , \lt \)) الجذران لا يُدرجان في الحل (نقطة فارغة ○). في الإشارة المتساهلة (\( \geq, \leq \)) الجذران يُدرجان (نقطة مملوءة ●)، إذ يساوي التعبير الصفر عندهما.

مثال 1: قطع مكافئ للأعلى — الحل بين الجذرين

السؤال: حل المتباينة: \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)

الحل:

1. نجد الجذرين: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). نحلل إلى عوامل: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \).
2. الجذران هما \( x_1 = 2 \) و \( x_2 = 3 \).
3. المعامل القيادي \( a = 1 \gt 0 \)، وبالتالي القطع المكافئ مفتوح للأعلى وسالب بين الجذرين.
4. نطلب أين يكون التعبير أصغر من أو يساوي الصفر (\( \leq 0 \))، أي بين الجذرين مع الحدود.
5. التحقق: \( x = 2.5 \) يعطي \( 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \lt 0 \). سالب فعلًا.

الإجابة: \( 2 \leq x \leq 3 \)

مثال 2: قطع مكافئ للأعلى — الحل خارج الجذرين

السؤال: حل المتباينة: \( x^2 + 2x - 15 \gt 0 \)

الحل:

1. نجد الجذرين: \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). نحلل: \( (x + 5)(x - 3) = 0 \).
2. الجذران هما \( x_1 = -5 \) و \( x_2 = 3 \).
3. المعامل القيادي \( a = 1 \gt 0 \)، وبالتالي القطع المكافئ موجب خارج الجذرين.
4. نطلب أين يكون التعبير أكبر من الصفر تمامًا (\( \gt 0 \))، أي خارج القطعة دون الجذرين.
5. التحقق: \( x = 4 \) يعطي \( 16 + 8 - 15 = 9 \gt 0 \). موجب فعلًا.

الإجابة: \( x \lt -5 \) أو \( x \gt 3 \)

مثال 3: معامل قيادي سالب — عكس الصورة

السؤال: حل المتباينة: \( -x^2 + 4x + 5 \geq 0 \)

الحل:

1. للعمل بيسر، نضرب الطرفين في \( -1 \) ونعكس الإشارة: \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \).
2. نجد الجذرين: \( (x - 5)(x + 1) = 0 \)، أي \( x_1 = -1 \) و \( x_2 = 5 \).
3. الآن المعامل القيادي موجب والقطع المكافئ مفتوح للأعلى، وهو سالب بين الجذرين.
4. نطلب \( \leq 0 \)، لذا الحل هو بين الجذرين مع الحدود.
5. التحقق في الأصل: \( x = 0 \) يعطي \( -0 + 0 + 5 = 5 \geq 0 \). في المجال فعلًا.

الإجابة: \( -1 \leq x \leq 5 \)

مثال 4: متباينة محللة إلى عوامل

السؤال: حل المتباينة: \( x(x - 4) \lt 0 \)

الحل:

1. التعبير محلل بالفعل، والجذران يُقرآن مباشرة: \( x_1 = 0 \) و \( x_2 = 4 \).
2. بفتح الأقواس نحصل على \( x^2 - 4x \)، فالمعامل القيادي \( a = 1 \gt 0 \) — قطع مكافئ للأعلى وسالب بين الجذرين.
3. نطلب أين يكون التعبير أصغر من الصفر تمامًا (\( \lt 0 \))، أي بين الجذرين دونهما.
4. التحقق: \( x = 2 \) يعطي \( 2 \cdot (-2) = -4 \lt 0 \). سالب فعلًا.

الإجابة: \( 0 \lt x \lt 4 \)

مثال 5: متباينة بدون حد خطي

السؤال: حل المتباينة: \( 2x^2 - 18 \geq 0 \)

الحل:

1. نستخرج عاملًا مشتركًا: \( 2(x^2 - 9) \geq 0 \)، نقسم على \( 2 \) (موجب): \( x^2 - 9 \geq 0 \).
2. نحلل بالفرق بين مربعين: \( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \)، أي الجذران \( x_1 = -3 \) و \( x_2 = 3 \).
3. المعامل القيادي موجب، وبالتالي القطع المكافئ موجب خارج الجذرين.
4. نطلب \( \geq 0 \)، لذا الحل هو خارج الجذرين مع الحدود.
5. التحقق: \( x = 4 \) يعطي \( 2 \cdot 16 - 18 = 14 \geq 0 \). في المجال فعلًا.

الإجابة: \( x \leq -3 \) أو \( x \geq 3 \)

✗ خطأ شائع: التعامل مع المتباينة كمعادلة والاكتفاء بالجذرين، وإعطاء إجابة كـ \( x = 2, x = 3 \) بدلًا من مجال.

✓ الطريقة الصحيحة: الجذران مجرد حدود للمجال. الإجابة مجال كامل: يجب فحص أين يكون التعبير موجبًا أو سالبًا وفق اتجاه القطع المكافئ وكتابة القطعة المناسبة.

✗ خطأ شائع: إهمال المعامل القيادي السالب وتحديد المجال كأن القطع المكافئ مفتوح للأعلى.

✓ الطريقة الصحيحة: عندما يكون المعامل القيادي سالبًا يكون القطع المكافئ مفتوحًا للأسفل، فيكون موجبًا بين الجذرين وسالبًا خارجهما — عكس الحالة المعتادة. يُنصح بالضرب في \( -1 \) وعكس الإشارة للعمل دائمًا مع معامل موجب.

✗ خطأ شائع: في الإشارة الصارمة (\( \gt , \lt \)) إدراج الجذرين في الحل، أو في الإشارة المتساهلة (\( \geq, \leq \)) حذفهم.

✓ الطريقة الصحيحة: الجذران يُصفّران التعبير. لذا يُدرجان فقط عند الإشارة \( \geq \) أو \( \leq \) (نقطة مملوءة)، ولا يُدرجان عند \( \gt \) أو \( \lt \) (نقطة فارغة).

النقاط الأساسية للمتباينة التربيعية:

• نرتّب مقابل الصفر، ونجد جذور \( ax^2 + bx + c = 0 \).
• قطع مكافئ للأعلى (\( a \gt 0 \)): سالب بين الجذرين، وموجب خارجهما.
• قطع مكافئ للأسفل (\( a \lt 0 \)): موجب بين الجذرين، وسالب خارجهما.
• الحدود تُدرج فقط في \( \geq \) و \( \leq \) (نقطة مملوءة)، لا في \( \gt \) و \( \lt \) (نقطة فارغة).
• قانون الجذرين: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).