二次不等式——抛物线与表达式符号

二次不等式——抛物线与表达式符号

二次不等式研究的是：对哪些 \( x \) 值，一个二次表达式为正、为负或等于零。与最多只有两个解的二次方程不同，这里的答案是数轴上的一段区间。关键在于理解抛物线的形状：它在哪里位于 \( x \) 轴上方，在哪里位于下方。本指南将带你学习如何求零点、判断抛物线的开口方向，并从中读出各区间上表达式的符号。

背景与基本定义

二次不等式是形如 \( ax^2 + bx + c \gt 0 \) 的表达式（也可用 \( \lt , \geq, \leq \)），其中 \( a \neq 0 \)。函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图象是一条抛物线。

开口方向取决于二次项系数 \( a \) 的符号：

  • 若 \( a \gt 0 \) — 抛物线开口向上（"微笑形"）。它在两根之间为负，在两根之外为正。
  • 若 \( a \lt 0 \) — 抛物线开口向下（"悲伤形"）。它在两根之间为正，在两根之外为负。

零点是表达式等于零的点，即方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的解，可通过因式分解或求根公式求得：

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

设两根为 \( x_1 \lt x_2 \)，它们将数轴分成三个区间，每个区间内表达式的符号保持不变。因此，只需在每个区间内取一点代入检验，或直接借助抛物线的形状判断即可。

注意端点的取舍：严格不等号（\( \gt , \lt \)）时，零点不包含在解集中（空心点 ○）；非严格不等号（\( \geq, \leq \)）时，零点包含在解集中（实心点 ●），因为那里表达式恰好等于零。

解题步骤

  1. 第一步——整理不等式，使一侧为零，得到标准形式 \( ax^2 + bx + c \) 与 \( 0 \) 的比较。
  2. 第二步——令表达式等于零，求出零点（因式分解或求根公式）。
  3. 第三步——根据二次项系数 \( a \) 的符号判断开口方向：\( a \gt 0 \) 开口向上，\( a \lt 0 \) 开口向下。
  4. 第四步——在数轴上标出零点，标明抛物线在哪些区间位于轴上方（正）、哪些位于轴下方（负）。
  5. 第五步——选取符合所求符号的区间，注意端点是否包含（\( \geq, \leq \) 含，\( \gt , \lt \) 不含）。
  6. 第六步——写出最终解集；若解集由两段外侧区间组成，用并集符号连接。

例题解析

例题 1： 开口向上——取两根之间

题目： 求解不等式：\( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)

解答：

  1. 求零点：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，因式分解得 \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)。
  2. 两根为 \( x_1 = 2 \)，\( x_2 = 3 \)。
  3. 二次项系数 \( a = 1 \gt 0 \)，抛物线开口向上，在两根之间为负。
  4. 要求表达式小于或等于零（\( \leq 0 \)），即取两根之间（含端点）的区间。
  5. 验证：\( x = 2.5 \) 时得 \( 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \lt 0 \)，确实为负。

答案： \( 2 \leq x \leq 3 \)

例题 2： 开口向上——取两根之外

题目： 求解不等式：\( x^2 + 2x - 15 \gt 0 \)

解答：

  1. 求零点：\( x^2 + 2x - 15 = 0 \)，因式分解得 \( (x + 5)(x - 3) = 0 \)。
  2. 两根为 \( x_1 = -5 \)，\( x_2 = 3 \)。
  3. 二次项系数 \( a = 1 \gt 0 \)，抛物线开口向上，在两根之外为正。
  4. 要求表达式严格大于零（\( \gt 0 \)），即取两根之外的区间，不含端点。
  5. 验证：\( x = 4 \) 时得 \( 16 + 8 - 15 = 9 \gt 0 \)，确实为正。

答案： \( x \lt -5 \) 或 \( x \gt 3 \)

例题 3： 二次项系数为负——图象翻转

题目： 求解不等式：\( -x^2 + 4x + 5 \geq 0 \)

解答：

  1. 为便于分析，两边同乘以 \( -1 \) 并翻转不等号：\( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \)。
  2. 求零点：\( (x - 5)(x + 1) = 0 \)，即 \( x_1 = -1 \)，\( x_2 = 5 \)。
  3. 现在二次项系数为正，抛物线开口向上，在两根之间为负。
  4. 要求 \( \leq 0 \)，取两根之间（含端点）的区间。
  5. 在原不等式中验证：\( x = 0 \) 时得 \( -0 + 0 + 5 = 5 \geq 0 \)，确在解集内。

答案： \( -1 \leq x \leq 5 \)

例题 4： 已因式分解的不等式

题目： 求解不等式：\( x(x - 4) \lt 0 \)

解答：

  1. 表达式已因式分解，直接读出零点：\( x_1 = 0 \)，\( x_2 = 4 \)。
  2. 展开得 \( x^2 - 4x \)，二次项系数 \( a = 1 \gt 0 \)——抛物线开口向上，两根之间为负。
  3. 要求表达式严格小于零（\( \lt 0 \)），即取两根之间，不含端点。
  4. 验证：\( x = 2 \) 时得 \( 2 \cdot (-2) = -4 \lt 0 \)，确实为负。

答案： \( 0 \lt x \lt 4 \)

例题 5： 无一次项的二次不等式

题目： 求解不等式：\( 2x^2 - 18 \geq 0 \)

解答：

  1. 提取公因子：\( 2(x^2 - 9) \geq 0 \)，除以 \( 2 \)（正数）：\( x^2 - 9 \geq 0 \)。
  2. 利用平方差公式因式分解：\( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \)，零点为 \( x_1 = -3 \)，\( x_2 = 3 \)。
  3. 二次项系数为正，抛物线开口向上，在两根之外为正。
  4. 要求 \( \geq 0 \)，取两根之外（含端点）的区间。
  5. 验证：\( x = 4 \) 时得 \( 2 \cdot 16 - 18 = 14 \geq 0 \)，确在解集内。

答案： \( x \leq -3 \) 或 \( x \geq 3 \)

常见错误

✗ 常见错误： 将不等式当作方程处理，只给出零点而不给出区间，例如写 \( x = 2, x = 3 \) 而非区间。

✓ 正确做法： 零点只是边界，答案应该是完整的区间。需根据抛物线开口方向判断表达式在哪里为正或为负，并写出对应的区间。

✗ 常见错误： 忽略二次项系数为负，仍按开口向上的抛物线来确定解集。

✓ 正确做法： 当二次项系数为负时，抛物线开口向下，表达式在两根之间为正、在两根之外为负——与常见情形相反。建议两边同乘以 \( -1 \) 并翻转不等号，转化为正系数处理。

✗ 常见错误： 使用严格不等号（\( \gt , \lt \)）时将零点包含在解集中，或使用非严格不等号（\( \geq, \leq \)）时漏掉零点。

✓ 正确做法： 零点处表达式等于零。因此只有 \( \geq \) 或 \( \leq \) 时才包含零点（实心点），\( \gt \) 或 \( \lt \) 时不包含零点（空心点）。

练习建议

  • 快速画一张抛物线草图，标上零点。一眼就能看出「微笑形」还是「悲伤形」，轴上方还是下方一目了然。
  • 开口向上的记忆口诀：两根之间为负，两根之外为正；开口向下则正好相反。
  • 当二次项系数为负时，两边同乘以 \( -1 \) 并翻转不等号，始终转化为正系数进行分析，不容易出错。
  • 始终将解集内的一个数代入原不等式验证，确认表达式确实满足所求的符号条件。
  • 若判别式 \( b^2 - 4ac \lt 0 \)，则无实数零点，表达式在整个数轴上保持符号不变（与 \( a \) 的符号相同）。

总结与关键公式

二次不等式要点：

  • 将不等式整理为与零比较的标准形式，求方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的零点。
  • 开口向上（\( a \gt 0 \)）：两根之间为负，两根之外为正。
  • 开口向下（\( a \lt 0 \)）：两根之间为正，两根之外为负。
  • 非严格不等号（\( \geq, \leq \)）含零点（实心点）；严格不等号（\( \gt , \lt \)）不含零点（空心点）。
  • 求根公式：\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)。