Inéquation du second degré — signe et parabole

Une inéquation du second degré demande pour quelles valeurs de \( x \) un trinôme du second degré est positif, négatif ou nul. Contrairement à une équation du second degré qui admet au plus deux solutions isolées, la réponse est ici un intervalle entier de la droite numérique. La clé est de comprendre la forme de la parabole : où est-elle au-dessus de l'axe des abscisses et où est-elle en dessous ? Dans ce guide, vous apprendrez à trouver les racines, à identifier le sens d'ouverture de la parabole et à en lire le signe sur chaque intervalle.

Contexte et définitions de base

Une inéquation du second degré est une expression de la forme \( ax^2 + bx + c \gt 0 \) (ou avec \( \lt , \geq, \leq \)), avec \( a \neq 0 \). La fonction \( y = ax^2 + bx + c \) est une parabole.

Le sens d'ouverture dépend du coefficient directeur \( a \) :

Si \( a \gt 0 \) — la parabole est ouverte vers le haut (« souriante »). Elle est négative entre les racines et positive à l'extérieur.
Si \( a \lt 0 \) — la parabole est ouverte vers le bas (« triste »). Elle est positive entre les racines et négative à l'extérieur.

Les racines sont les valeurs pour lesquelles le trinôme s'annule, c'est-à-dire les solutions de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \). On les trouve par factorisation ou par la formule :

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

On note \( x_1 \lt x_2 \). Les racines partagent la droite numérique en trois intervalles, et le signe du trinôme est constant sur chacun d'eux. Il suffit donc de tester un point par intervalle, ou simplement d'utiliser la forme de la parabole.

Attention aux bornes : avec un signe strict (\( \gt , \lt \)), les racines ne sont pas incluses dans la solution (point creux ○). Avec un signe large (\( \geq, \leq \)), les racines sont incluses (point plein ●), car le trinôme y est nul.

Étapes de résolution

Étape 1 — Réorganiser l'inéquation de sorte qu'un membre soit zéro et obtenir la forme canonique \( ax^2 + bx + c \) par rapport à \( 0 \).
Étape 2 — Trouver les racines du trinôme en le mettant égal à zéro (factorisation ou formule du discriminant).
Étape 3 — Déterminer le sens d'ouverture en fonction du signe du coefficient directeur \( a \) : vers le haut si \( a \gt 0 \), vers le bas si \( a \lt 0 \).
Étape 4 — Placer les racines sur la droite numérique et indiquer où la parabole est au-dessus de l'axe (positive) et où elle est en dessous (négative).
Étape 5 — Choisir l'intervalle correspondant au signe recherché et vérifier si les bornes sont incluses (\( \geq, \leq \)) ou non (\( \gt , \lt \)).
Étape 6 — Écrire l'ensemble solution final ; si la solution est formée de deux intervalles extérieurs, les réunir avec une réunion.

Exemples résolus

Exemple 1 : Parabole vers le haut — solution entre les racines

Énoncé : Résolvez l'inéquation : \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)

Solution :

On cherche les racines : \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). On factorise : \( (x - 2)(x - 3) = 0 \).
Les racines sont \( x_1 = 2 \) et \( x_2 = 3 \).
Le coefficient directeur \( a = 1 \gt 0 \), donc la parabole est ouverte vers le haut et négative entre les racines.
On cherche où le trinôme est inférieur ou égal à zéro (\( \leq 0 \)), c'est-à-dire entre les racines, bornes incluses.
Vérification : \( x = 2{,}5 \) donne \( 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 \lt 0 \). Bien négatif.

Réponse : \( 2 \leq x \leq 3 \)

Exemple 2 : Parabole vers le haut — solution à l'extérieur des racines

Énoncé : Résolvez l'inéquation : \( x^2 + 2x - 15 \gt 0 \)

Solution :

On cherche les racines : \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). On factorise : \( (x + 5)(x - 3) = 0 \).
Les racines sont \( x_1 = -5 \) et \( x_2 = 3 \).
Le coefficient directeur \( a = 1 \gt 0 \), donc la parabole est positive à l'extérieur des racines.
On cherche où le trinôme est strictement positif (\( \gt 0 \)), c'est-à-dire à l'extérieur de l'intervalle, sans inclure les racines.
Vérification : \( x = 4 \) donne \( 16 + 8 - 15 = 9 \gt 0 \). Bien positif.

Réponse : \( x \lt -5 \) ou \( x \gt 3 \)

Exemple 3 : Coefficient directeur négatif — la parabole est inversée

Énoncé : Résolvez l'inéquation : \( -x^2 + 4x + 5 \geq 0 \)

Solution :

Pour faciliter le travail, on multiplie les deux membres par \( -1 \) et on inverse le sens : \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \).
On cherche les racines : \( (x - 5)(x + 1) = 0 \), soit \( x_1 = -1 \) et \( x_2 = 5 \).
Le coefficient directeur est maintenant positif et la parabole est ouverte vers le haut, négative entre les racines.
On cherche \( \leq 0 \), donc la solution est l'intervalle entre les racines, bornes incluses.
Vérification dans l'expression d'origine : \( x = 0 \) donne \( -0 + 0 + 5 = 5 \geq 0 \). Bien dans l'ensemble solution.

Réponse : \( -1 \leq x \leq 5 \)

Exemple 4 : Inéquation déjà factorisée

Énoncé : Résolvez l'inéquation : \( x(x - 4) \lt 0 \)

Solution :

L'expression est déjà factorisée ; les racines se lisent directement : \( x_1 = 0 \) et \( x_2 = 4 \).
En développant on obtient \( x^2 - 4x \), donc le coefficient directeur \( a = 1 \gt 0 \) — parabole vers le haut, négative entre les racines.
On cherche où le produit est strictement négatif (\( \lt 0 \)), c'est-à-dire entre les racines sans les inclure.
Vérification : \( x = 2 \) donne \( 2 \cdot (-2) = -4 \lt 0 \). Bien négatif.

Réponse : \( 0 \lt x \lt 4 \)

Exemple 5 : Inéquation sans terme du premier degré

Énoncé : Résolvez l'inéquation : \( 2x^2 - 18 \geq 0 \)

Solution :

On factorise en mettant en évidence le facteur commun : \( 2(x^2 - 9) \geq 0 \), puis on divise par \( 2 \) (positif) : \( x^2 - 9 \geq 0 \).
On factorise comme différence de deux carrés : \( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \), donc les racines sont \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = 3 \).
Le coefficient directeur est positif, donc la parabole est positive à l'extérieur des racines.
On cherche \( \geq 0 \), donc la solution est l'extérieur des racines, bornes incluses.
Vérification : \( x = 4 \) donne \( 2 \cdot 16 - 18 = 14 \geq 0 \). Bien dans l'ensemble solution.

Réponse : \( x \leq -3 \) ou \( x \geq 3 \)

Erreurs fréquentes

✗ Erreur fréquente : On traite l'inéquation comme une équation et on s'arrête aux racines, donnant une réponse du type \( x = 2, x = 3 \) au lieu d'un intervalle.

✓ La bonne méthode : Les racines ne sont que les bornes. La réponse est un intervalle entier : il faut déterminer où le trinôme est positif ou négatif d'après le sens d'ouverture de la parabole, puis écrire l'intervalle correspondant.

✗ Erreur fréquente : On ignore le coefficient directeur négatif et on détermine l'intervalle comme si la parabole était ouverte vers le haut.

✓ La bonne méthode : Quand le coefficient directeur est négatif, la parabole est ouverte vers le bas, donc elle est positive entre les racines et négative à l'extérieur — c'est l'inverse du cas habituel. Il est conseillé de multiplier par \( -1 \) et d'inverser le signe pour travailler avec un coefficient positif.

✗ Erreur fréquente : Avec un signe strict (\( \gt , \lt \)), on inclut les racines dans la solution, ou avec un signe large (\( \geq, \leq \)), on les exclut.

✓ La bonne méthode : Les racines annulent le trinôme. Elles sont incluses seulement quand le signe est \( \geq \) ou \( \leq \) (point plein), et exclues avec \( \gt \) ou \( \lt \) (point creux).

Conseils d'entraînement

Faites une esquisse rapide de la parabole avec ses racines. Dès qu'on voit si elle est « souriante » ou « triste », il est facile de voir où elle est au-dessus de l'axe et où elle est en dessous.
Règle mnémotechnique pour la parabole vers le haut : négative entre les racines, positive à l'extérieur. Pour la parabole vers le bas — exactement le contraire.
Quand le coefficient directeur est négatif, multipliez toute l'inéquation par \( -1 \) et inversez le sens — on travaille ainsi toujours avec une parabole vers le haut et on évite les confusions.
Vérifiez toujours la réponse en substituant un nombre appartenant à l'ensemble solution trouvé, pour s'assurer que le trinôme vérifie bien le signe demandé.
Si le discriminant \( b^2 - 4ac \) est négatif, il n'y a pas de racines réelles, et le trinôme conserve un signe constant (le signe de \( a \)) sur toute la droite.

Résumé et formules clés

Points clés de l'inéquation du second degré :

On met en regard de zéro, on trouve les racines de \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Parabole vers le haut (\( a \gt 0 \)) : négative entre les racines, positive à l'extérieur.
Parabole vers le bas (\( a \lt 0 \)) : positive entre les racines, négative à l'extérieur.
Bornes incluses seulement avec \( \geq \) et \( \leq \) (point plein) ; exclues avec \( \gt \) et \( \lt \) (point creux).
Formule des racines : \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).