אי שוויון ריבועי הוא ביטוי מהצורה \( ax^2 + bx + c \gt 0 \) (או עם \( \lt , \geq, \leq \)), כאשר \( a \neq 0 \). הפונקציה \( y = ax^2 + bx + c \) היא פרבולה.

כיוון הפתיחה תלוי במקדם המוביל \( a \):

• אם \( a \gt 0 \) — הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ("מחייכת"). היא שלילית בין השורשים וחיובית מחוץ להם.
• אם \( a \lt 0 \) — הפרבולה פתוחה כלפי מטה ("עצובה"). היא חיובית בין השורשים ושלילית מחוץ להם.

השורשים הם הנקודות שבהן הביטוי מתאפס, כלומר פתרונות המשוואה \( ax^2 + bx + c = 0 \). מוצאים אותם על ידי פירוק לגורמים או באמצעות הנוסחה:

נסמן את השורשים \( x_1 \lt x_2 \). הם מחלקים את ציר המספרים לשלושה תחומים, ובכל תחום סימן הביטוי קבוע. לכן מספיק לבדוק נקודה אחת מכל תחום, או פשוט להיעזר בצורת הפרבולה.

שימו לב לסימן הקצוות: בסימן ממש (\( \gt , \lt \)) השורשים לא נכללים בפתרון (נקודה ריקה ○). בסימן רפה (\( \geq, \leq \)) השורשים כן נכללים (נקודה מלאה ●), כי שם הביטוי שווה לאפס.

דוגמה 1: פרבולה כלפי מעלה — פתרון בין השורשים

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)

פתרון:

1. נמצא שורשים: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). נפרק לגורמים: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \).
2. השורשים הם \( x_1 = 2 \) ו-\( x_2 = 3 \).
3. המקדם המוביל \( a = 1 \gt 0 \), ולכן הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ושלילית בין השורשים.
4. מבקשים היכן הביטוי קטן או שווה לאפס (\( \leq 0 \)), כלומר בין השורשים כולל הקצוות.
5. בדיקה: \( x = 2.5 \) נותן \( 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \lt 0 \). אכן שלילי.

תשובה: \( 2 \leq x \leq 3 \)

דוגמה 2: פרבולה כלפי מעלה — פתרון מחוץ לשורשים

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( x^2 + 2x - 15 \gt 0 \)

פתרון:

1. נמצא שורשים: \( x^2 + 2x - 15 = 0 \). נפרק: \( (x + 5)(x - 3) = 0 \).
2. השורשים הם \( x_1 = -5 \) ו-\( x_2 = 3 \).
3. המקדם המוביל \( a = 1 \gt 0 \), ולכן הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.
4. מבקשים היכן הביטוי גדול ממש מאפס (\( \gt 0 \)), כלומר מחוץ לקטע ובלי לכלול את השורשים.
5. בדיקה: \( x = 4 \) נותן \( 16 + 8 - 15 = 9 \gt 0 \). אכן חיובי.

תשובה: \( x \lt -5 \) או \( x \gt 3 \)

דוגמה 3: מקדם מוביל שלילי — היפוך התמונה

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( -x^2 + 4x + 5 \geq 0 \)

פתרון:

1. כדי לעבוד נוח, נכפול את שני האגפים ב-\( -1 \) ונהפוך את הסימן: \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \).
2. נמצא שורשים: \( (x - 5)(x + 1) = 0 \), כלומר \( x_1 = -1 \) ו-\( x_2 = 5 \).
3. כעת המקדם המוביל חיובי והפרבולה פתוחה כלפי מעלה, השלילית בין השורשים.
4. מבקשים \( \leq 0 \), לכן הפתרון הוא בין השורשים כולל הקצוות.
5. בדיקה במקור: \( x = 0 \) נותן \( -0 + 0 + 5 = 5 \geq 0 \). אכן בתחום.

תשובה: \( -1 \leq x \leq 5 \)

דוגמה 4: אי שוויון מפורק לגורמים

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( x(x - 4) \lt 0 \)

פתרון:

1. הביטוי כבר מפורק לגורמים, והשורשים נקראים ישירות: \( x_1 = 0 \) ו-\( x_2 = 4 \).
2. פתיחת הסוגריים נותנת \( x^2 - 4x \), כך שהמקדם המוביל \( a = 1 \gt 0 \) — פרבולה כלפי מעלה ושלילית בין השורשים.
3. מבקשים היכן הביטוי קטן ממש מאפס (\( \lt 0 \)), כלומר בין השורשים בלי לכלול אותם.
4. בדיקה: \( x = 2 \) נותן \( 2 \cdot (-2) = -4 \lt 0 \). אכן שלילי.

תשובה: \( 0 \lt x \lt 4 \)

דוגמה 5: אי שוויון ללא איבר חופשי לינארי

השאלה: פתרו את אי השוויון: \( 2x^2 - 18 \geq 0 \)

פתרון:

1. נוציא גורם משותף: \( 2(x^2 - 9) \geq 0 \), ונחלק ב-\( 2 \) (חיובי): \( x^2 - 9 \geq 0 \).
2. נפרק להפרש ריבועים: \( (x - 3)(x + 3) \geq 0 \), כלומר השורשים הם \( x_1 = -3 \) ו-\( x_2 = 3 \).
3. המקדם המוביל חיובי, ולכן הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים.
4. מבקשים \( \geq 0 \), לכן הפתרון הוא מחוץ לשורשים כולל הקצוות.
5. בדיקה: \( x = 4 \) נותן \( 2 \cdot 16 - 18 = 14 \geq 0 \). אכן בתחום.

תשובה: \( x \leq -3 \) או \( x \geq 3 \)

✗ טעות נפוצה: מתייחסים לאי שוויון כאל משוואה ועוצרים בשורשים, ונותנים תשובה כמו \( x = 2, x = 3 \) במקום תחום.

✓ הדרך הנכונה: השורשים הם רק הגבולות. התשובה היא תחום שלם: יש לבדוק היכן הביטוי חיובי או שלילי לפי כיוון הפרבולה ולכתוב את הקטע המתאים.

✗ טעות נפוצה: מתעלמים מהמקדם המוביל השלילי וקובעים את התחום כאילו הפרבולה פתוחה כלפי מעלה.

✓ הדרך הנכונה: כשהמקדם המוביל שלילי הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן היא חיובית בין השורשים ושלילית מחוץ להם — הפוך מהמקרה הרגיל. כדאי לכפול ב-\( -1 \) ולהפוך את הסימן כדי לעבוד עם מקדם חיובי.

✗ טעות נפוצה: בסימן ממש (\( \gt , \lt \)) כוללים את השורשים בפתרון, או בסימן רפה (\( \geq, \leq \)) משמיטים אותם.

✓ הדרך הנכונה: השורשים מאפסים את הביטוי. לכן הם נכללים רק כאשר הסימן הוא \( \geq \) או \( \leq \) (נקודה מלאה), ואינם נכללים בסימן \( \gt \) או \( \lt \) (נקודה ריקה).

נקודות מפתח לאי שוויון ריבועי:

• מסדרים מול אפס, מוצאים את השורשים של \( ax^2 + bx + c = 0 \).
• פרבולה כלפי מעלה (\( a \gt 0 \)): שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.
• פרבולה כלפי מטה (\( a \lt 0 \)): חיובית בין השורשים, שלילית מחוץ להם.
• קצוות נכללים רק ב-\( \geq \) ו-\( \leq \) (נקודה מלאה), ולא ב-\( \gt \) ו-\( \lt \) (נקודה ריקה).
• נוסחת השורשים: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \).