En un triángulo rectángulo hay un ángulo de \(90^\circ\). Los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado más largo —el que está frente al ángulo recto— se llama hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

donde \(a\) y \(b\) son los catetos y \(c\) es la hipotenusa. De aquí se obtiene:

• Hallar la hipotenusa: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Hallar un cateto: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

Las ternas pitagóricas son conjuntos de tres números enteros que satisfacen el teorema. Conviene recordar las más comunes:

Nota: todo múltiplo de una terna también es una terna. Por ejemplo, \(6\text{-}8\text{-}10\) es el doble de \(3\text{-}4\text{-}5\).

Ejemplo 1: Hallar la hipotenusa desde dos catetos

Enunciado: En un triángulo rectángulo los catetos miden \(9\) cm y \(40\) cm. Encuentra la longitud de la hipotenusa.

Solución:

1. Designamos los catetos \(a = 9\), \(b = 40\), y la hipotenusa \(c\).
2. Por el teorema de Pitágoras: \(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2\).
3. Calculamos: \(81 + 1600 = 1681\).
4. Extraemos la raíz: \(c = \sqrt{1681} = 41\).
5. Observamos que es la terna pitagórica \(9\text{-}40\text{-}41\), y la hipotenusa es efectivamente mayor que ambos catetos.

Respuesta: La hipotenusa mide \(41\) cm.

Ejemplo 2: Hallar un cateto usando una terna

Enunciado: En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide \(26\) cm y un cateto mide \(10\) cm. Encuentra el segundo cateto.

Solución:

1. Designamos \(c = 26\) (hipotenusa), \(a = 10\), y el cateto buscado \(b\).
2. Despejamos: \(b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2\).
3. Calculamos: \(676 - 100 = 576\).
4. Extraemos la raíz: \(b = \sqrt{576} = 24\).
5. Es el doble de la terna \(5\text{-}12\text{-}13\), es decir, \(10\text{-}24\text{-}26\).

Respuesta: El segundo cateto mide \(24\) cm.

Ejemplo 3: Verificar si un triángulo es rectángulo

Enunciado: Dado un triángulo con lados \(20\), \(21\) y \(29\). ¿Es un triángulo rectángulo?

Solución:

1. El lado más largo es \(29\); si el triángulo es rectángulo, ese debe ser la hipotenusa.
2. Verificamos si se cumple \(20^2 + 21^2 = 29^2\).
3. Lado izquierdo: \(400 + 441 = 841\).
4. Lado derecho: \(29^2 = 841\).
5. Ambos lados son iguales, por lo que por el recíproco del teorema de Pitágoras el triángulo es rectángulo.

Respuesta: Sí, el triángulo es rectángulo (la hipotenusa es el lado \(29\)).

Ejemplo 4: Aplicación — escalera apoyada en una pared

Enunciado: Una escalera de \(17\) m de longitud se apoya en una pared vertical y su base está a \(8\) m del pie de la pared. ¿A qué altura llega la escalera?

Solución:

1. La escalera, la pared y el suelo forman un triángulo rectángulo. La escalera es la hipotenusa \(c = 17\), la distancia en el suelo es el cateto \(a = 8\), y la altura buscada es el cateto \(b\).
2. Escribimos: \(b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2\).
3. Calculamos: \(289 - 64 = 225\).
4. Extraemos la raíz: \(b = \sqrt{225} = 15\).
5. Es la terna \(8\text{-}15\text{-}17\).

Respuesta: La escalera llega a una altura de \(15\) m.

✗ Error común: Se suman los cuadrados de todos los lados incluso al buscar un cateto, obteniendo una hipotenusa demasiado grande.

✓ La forma correcta: Al buscar un cateto hay que restar: \(b^2 = c^2 - a^2\). La suma solo se usa cuando la hipotenusa es el lado desconocido. Verifica siempre cuál de los lados es la hipotenusa.

✗ Error común: Se confunde la hipotenusa con un cateto y se sustituye la hipotenusa en el lugar del cateto en la fórmula.

✓ La forma correcta: La hipotenusa es siempre el lado frente al ángulo recto y el más largo. Márcala como \(c\) antes de comenzar a calcular.

✗ Error común: Se olvida extraer la raíz al final y se deja la respuesta como un cuadrado, por ejemplo se dice que la hipotenusa es 1681 en lugar de 41.

✓ La forma correcta: La fórmula da el cuadrado del lado. El último paso es siempre extraer la raíz cuadrada: \(c = \sqrt{c^2}\).

Fórmula central: \(a^2 + b^2 = c^2\), donde \(c\) es la hipotenusa.

• Hallar la hipotenusa: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Hallar un cateto: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• Ternas a recordar: \(3\text{-}4\text{-}5\), \(5\text{-}12\text{-}13\), \(8\text{-}15\text{-}17\), \(7\text{-}24\text{-}25\) y sus múltiplos.
• Verificar si el triángulo es rectángulo: compara \(a^2 + b^2\) con \(c^2\) del lado más largo.