في المثلث القائم الزاوية توجد زاوية واحدة مقدارها \(90^\circ\). يُسمى الضلعان المكوِّنان للزاوية القائمة ساقَين، أما الضلع الأطول — المقابل للزاوية القائمة — فيُسمى الوتر.

مبرهنة فيثاغورس: مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر:

حيث \(a\) و\(b\) هما الساقان و\(c\) هو الوتر. ومن ذلك ينتج:

• إيجاد الوتر: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• إيجاد الساق: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

الثلاثيات الفيثاغورية هي ثلاثيات من الأعداد الصحيحة تحقق المبرهنة. يُستحسن حفظ الأكثر شيوعاً:

لاحظ: كل مضاعف لثلاثية هو أيضاً ثلاثية. مثلاً \(6\text{-}8\text{-}10\) هي ضعف \(3\text{-}4\text{-}5\).

مثال 1: إيجاد الوتر من ساقَين معلومتَين

السؤال: في مثلث قائم الزاوية الساقان \(9\) سم و\(40\) سم. أوجد طول الوتر.

الحل:

1. نرمز للساقين \(a = 9\) و\(b = 40\)، وللوتر \(c\).
2. بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2\).
3. نحسب: \(81 + 1600 = 1681\).
4. نستخرج الجذر: \(c = \sqrt{1681} = 41\).
5. نلاحظ أن هذه هي الثلاثية الفيثاغورية \(9\text{-}40\text{-}41\)، والوتر أكبر من كل ساق.

الإجابة: الوتر هو \(41\) سم.

مثال 2: إيجاد الساق باستخدام ثلاثية

السؤال: في مثلث قائم الزاوية الوتر \(26\) سم وإحدى الساقين \(10\) سم. أوجد الساق الثانية.

الحل:

1. نرمز \(c = 26\) (الوتر)، \(a = 10\)، والساق المطلوبة \(b\).
2. نعزل: \(b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2\).
3. نحسب: \(676 - 100 = 576\).
4. نستخرج الجذر: \(b = \sqrt{576} = 24\).
5. هذه ضعف الثلاثية \(5\text{-}12\text{-}13\)، أي \(10\text{-}24\text{-}26\).

الإجابة: الساق الثانية هي \(24\) سم.

مثال 3: التحقق من أن المثلث قائم الزاوية

السؤال: مثلث أضلاعه \(20\) و\(21\) و\(29\). هل هو مثلث قائم الزاوية؟

الحل:

1. الضلع الأطول هو \(29\)، فإن كان المثلث قائماً فهو الوتر.
2. نتحقق: هل يتحقق \(20^2 + 21^2 = 29^2\)؟
3. الطرف الأيسر: \(400 + 441 = 841\).
4. الطرف الأيمن: \(29^2 = 841\).
5. الطرفان متساويان، ومن ثَمَّ بحسب عكس مبرهنة فيثاغورس المثلث قائم الزاوية.

الإجابة: نعم، المثلث قائم الزاوية (الوتر هو الضلع \(29\)).

مثال 4: تطبيق عملي — سلَّم مستند إلى جدار

السؤال: سلَّم طوله \(17\) متراً مستند إلى جدار رأسي، وقاعدته تبعد \(8\) أمتار عن أسفل الجدار. إلى أي ارتفاع يصل رأس السلَّم على الجدار؟

الحل:

1. يشكِّل السلَّم والجدار والأرض مثلثاً قائم الزاوية. السلَّم هو الوتر \(c = 17\)، والمسافة على الأرض ساق \(a = 8\)، والارتفاع المطلوب هو الساق \(b\).
2. نكتب: \(b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2\).
3. نحسب: \(289 - 64 = 225\).
4. نستخرج الجذر: \(b = \sqrt{225} = 15\).
5. هذه هي الثلاثية \(8\text{-}15\text{-}17\).

الإجابة: يصل رأس السلَّم إلى ارتفاع \(15\) متراً.

✗ خطأ شائع: يجمع الطالب مربعات جميع الأضلاع حتى عند إيجاد ساق، فيحصل على وتر أكبر مما ينبغي.

✓ الطريقة الصحيحة: عند إيجاد ساق يجب الطرح: \(b^2 = c^2 - a^2\). الجمع يُستخدم فقط حين يكون الوتر هو المجهول. تأكد دائماً أيُّ الأضلاع هو الوتر.

✗ خطأ شائع: يخلط الطالب بين الوتر والساق ويضع الوتر في موضع الساق في الصيغة.

✓ الطريقة الصحيحة: الوتر دائماً هو الضلع المقابل للزاوية القائمة والأطول. ارمز له بـ\(c\) قبل البدء في الحساب.

✗ خطأ شائع: ينسى الطالب استخراج الجذر في النهاية ويترك الإجابة مربَّعة، مثلاً يقول إن الوتر 1681 بدلاً من 41.

✓ الطريقة الصحيحة: الصيغة تعطي مربع الضلع. الخطوة الأخيرة دائماً هي استخراج الجذر: \(c = \sqrt{c^2}\).

الصيغة الأساسية: \(a^2 + b^2 = c^2\)، حيث \(c\) هو الوتر.

• إيجاد الوتر: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• إيجاد الساق: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• ثلاثيات تُحفظ: \(3\text{-}4\text{-}5\) و\(5\text{-}12\text{-}13\) و\(8\text{-}15\text{-}17\) و\(7\text{-}24\text{-}25\) ومضاعفاتها.
• التحقق من كون المثلث قائماً: قارن \(a^2 + b^2\) مع \(c^2\) للضلع الأطول.