在直角三角形中，有一个角为 \(90^\circ\)。构成直角的两条边称为直角边，最长的一条边——即直角对面的边——称为斜边。

勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方：

其中 \(a\) 和 \(b\) 是直角边，\(c\) 是斜边。由此可得：

• 求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• 求直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

勾股数组是满足勾股定理的整数三元组。常用的有：

注意：某个勾股数组的整数倍仍是勾股数组。例如 \(6\text{-}8\text{-}10\) 是 \(3\text{-}4\text{-}5\) 的 2 倍。

例题 1： 由两直角边求斜边

题目： 直角三角形的两直角边分别为 \(9\) 厘米和 \(40\) 厘米，求斜边长。

解答：

1. 设直角边 \(a = 9\)，\(b = 40\)，斜边为 \(c\)。
2. 由勾股定理：\(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2\)。
3. 计算：\(81 + 1600 = 1681\)。
4. 开方：\(c = \sqrt{1681} = 41\)。
5. 注意这是勾股数组 \(9\text{-}40\text{-}41\)，斜边确实大于两直角边。

答案： 斜边为 \(41\) 厘米。

例题 2： 利用勾股数组求直角边

题目： 直角三角形的斜边为 \(26\) 厘米，一条直角边为 \(10\) 厘米，求另一条直角边。

解答：

1. 设 \(c = 26\)（斜边），\(a = 10\)，所求直角边为 \(b\)。
2. 列式：\(b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2\)。
3. 计算：\(676 - 100 = 576\)。
4. 开方：\(b = \sqrt{576} = 24\)。
5. 这是勾股数组 \(5\text{-}12\text{-}13\) 的 2 倍，即 \(10\text{-}24\text{-}26\)。

答案： 另一条直角边为 \(24\) 厘米。

例题 3： 判断三角形是否为直角三角形

题目： 已知三角形三边为 \(20\)、\(21\) 和 \(29\)，判断它是否为直角三角形。

解答：

1. 最长边为 \(29\)，若为直角三角形则它必须是斜边。
2. 验证：\(20^2 + 21^2 = 29^2\) 是否成立。
3. 左边：\(400 + 441 = 841\)。
4. 右边：\(29^2 = 841\)。
5. 两边相等，由勾股定理逆定理可知该三角形是直角三角形。

答案： 是，该三角形是直角三角形（斜边为 \(29\)）。

例题 4： 实际应用——梯子靠墙问题

题目： 一架长 \(17\) 米的梯子靠在竖直的墙上，梯脚距墙根 \(8\) 米。梯子顶端能到达墙的多高处？

解答：

1. 梯子、墙和地面构成一个直角三角形。梯子是斜边 \(c = 17\)，地面距离是直角边 \(a = 8\)，所求高度是直角边 \(b\)。
2. 列式：\(b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2\)。
3. 计算：\(289 - 64 = 225\)。
4. 开方：\(b = \sqrt{225} = 15\)。
5. 这是勾股数组 \(8\text{-}15\text{-}17\)。

答案： 梯子顶端到达墙上 \(15\) 米处。

✗ 常见错误： 求直角边时也把所有边的平方相加，导致结果偏大。

✓ 正确做法： 求直角边时应作差：\(b^2 = c^2 - a^2\)。只有求斜边时才用加法。务必先确认哪条边是斜边。

✗ 常见错误： 混淆斜边与直角边，在公式中把斜边代入直角边的位置。

✓ 正确做法： 斜边始终是直角对面的边，也是最长的边。开始计算前先将其标记为 \(c\)。

✗ 常见错误： 最后忘记开方，把平方值当作答案，例如说斜边是 1681 而非 41。

✓ 正确做法： 公式给出的是边长的平方值，最后一步必须开方：\(c = \sqrt{c^2}\)。

核心公式：\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中 \(c\) 为斜边。

• 求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• 求直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• 常用勾股数组：\(3\text{-}4\text{-}5\)、\(5\text{-}12\text{-}13\)、\(8\text{-}15\text{-}17\)、\(7\text{-}24\text{-}25\) 及其整数倍。
• 判断直角三角形：将最长边的平方与另两边平方之和比较。