במשולש ישר זווית יש זווית אחת של \(90^\circ\). שתי הצלעות היוצרות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע הארוכה ביותר — זו שמול הזווית הישרה — נקראת יתר.

משפט פיתגורס: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר:

כאשר \(a\) ו-\(b\) הם הניצבים ו-\(c\) הוא היתר. מכאן נובע:

• מציאת יתר: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• מציאת ניצב: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

שלשות פיתגוריות הן שלשות של מספרים שלמים המקיימות את המשפט. כדאי לזכור את הנפוצות:

שימו לב: כל כפולה של שלשה היא גם שלשה. למשל \(6\text{-}8\text{-}10\) היא פי 2 של \(3\text{-}4\text{-}5\).

דוגמה 1: מציאת יתר משני ניצבים

השאלה: במשולש ישר זווית הניצבים הם \(9\) ס"מ ו-\(40\) ס"מ. מצאו את אורך היתר.

פתרון:

1. נסמן את הניצבים \(a = 9\), \(b = 40\), ואת היתר \(c\).
2. לפי משפט פיתגורס: \(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2\).
3. נחשב: \(81 + 1600 = 1681\).
4. נוציא שורש: \(c = \sqrt{1681} = 41\).
5. נשים לב שזו השלשה הפיתגורית \(9\text{-}40\text{-}41\), והיתר אכן גדול משני הניצבים.

תשובה: היתר הוא \(41\) ס"מ.

דוגמה 2: מציאת ניצב באמצעות שלשה

השאלה: במשולש ישר זווית היתר \(26\) ס"מ וניצב אחד \(10\) ס"מ. מצאו את הניצב השני.

פתרון:

1. נסמן \(c = 26\) (היתר), \(a = 10\), והניצב המבוקש \(b\).
2. נבודד: \(b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2\).
3. נחשב: \(676 - 100 = 576\).
4. נוציא שורש: \(b = \sqrt{576} = 24\).
5. זוהי כפולה פי 2 של השלשה \(5\text{-}12\text{-}13\), כלומר \(10\text{-}24\text{-}26\).

תשובה: הניצב השני הוא \(24\) ס"מ.

דוגמה 3: בדיקה אם משולש הוא ישר זווית

השאלה: נתון משולש שצלעותיו \(20\), \(21\) ו-\(29\). האם הוא משולש ישר זווית?

פתרון:

1. הצלע הארוכה ביותר היא \(29\), אז אם המשולש ישר זווית היא חייבת להיות היתר.
2. נבדוק אם מתקיים \(20^2 + 21^2 = 29^2\).
3. אגף שמאל: \(400 + 441 = 841\).
4. אגף ימין: \(29^2 = 841\).
5. שני האגפים שווים, ולכן לפי משפט פיתגורס ההפוך המשולש ישר זווית.

תשובה: כן, המשולש ישר זווית (היתר הוא הצלע \(29\)).

דוגמה 4: שימוש יישומי — סולם נשען על קיר

השאלה: סולם באורך \(17\) מטר נשען על קיר אנכי, ורגלו מרוחקת \(8\) מטר מבסיס הקיר. לאיזה גובה על הקיר מגיע ראש הסולם?

פתרון:

1. הסולם, הקיר והקרקע יוצרים משולש ישר זווית. הסולם הוא היתר \(c = 17\), המרחק על הקרקע הוא ניצב \(a = 8\), והגובה המבוקש הוא הניצב \(b\).
2. נכתוב: \(b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2\).
3. נחשב: \(289 - 64 = 225\).
4. נוציא שורש: \(b = \sqrt{225} = 15\).
5. זוהי השלשה \(8\text{-}15\text{-}17\).

תשובה: ראש הסולם מגיע לגובה \(15\) מטר.

✗ טעות נפוצה: מחברים את ריבועי כל הצלעות גם כשמחפשים ניצב, ומקבלים יתר ארוך מדי.

✓ הדרך הנכונה: כשמחפשים ניצב יש לחסר: \(b^2 = c^2 - a^2\). חיבור משמש רק כשהיתר הוא הצלע החסרה. ודאו תמיד מי מבין הצלעות הוא היתר.

✗ טעות נפוצה: מבלבלים בין היתר לניצב ומציבים את היתר במקום ניצב בנוסחה.

✓ הדרך הנכונה: היתר הוא תמיד הצלע מול הזווית הישרה והארוכה ביותר. סמנו אותו \(c\) לפני שמתחילים לחשב.

✗ טעות נפוצה: שוכחים להוציא שורש בסוף ומשאירים את התשובה כריבוע, למשל אומרים שהיתר הוא 1681 במקום 41.

✓ הדרך הנכונה: הנוסחה נותנת את ריבוע הצלע. השלב האחרון הוא תמיד הוצאת שורש: \(c = \sqrt{c^2}\).

הנוסחה המרכזית: \(a^2 + b^2 = c^2\), כאשר \(c\) הוא היתר.

• מציאת יתר: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• מציאת ניצב: \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• שלשות לזכור: \(3\text{-}4\text{-}5\), \(5\text{-}12\text{-}13\), \(8\text{-}15\text{-}17\), \(7\text{-}24\text{-}25\) וכפולותיהן.
• בדיקה אם המשולש ישר זווית: השוו \(a^2 + b^2\) ל-\(c^2\) של הצלע הארוכה.