Dans un triangle rectangle, il y a un angle de \(90^\circ\). Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés cathètes, et le côté le plus long — celui qui est opposé à l'angle droit — est appelé hypoténuse.

Théorème de Pythagore : la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l'hypoténuse :

où \(a\) et \(b\) sont les cathètes et \(c\) est l'hypoténuse. On en déduit :

• Trouver l'hypoténuse : \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Trouver une cathète : \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)

Les triplets pythagoriciens sont des triplets d'entiers vérifiant le théorème. Il est utile de mémoriser les plus courants :

Remarque : tout multiple d'un triplet est aussi un triplet. Par exemple \(6\text{-}8\text{-}10\) est le double de \(3\text{-}4\text{-}5\).

Exemple 1 : Trouver l'hypoténuse à partir des cathètes

Énoncé : Dans un triangle rectangle, les cathètes mesurent \(9\) cm et \(40\) cm. Trouvez la longueur de l'hypoténuse.

Solution :

1. Notons les cathètes \(a = 9\), \(b = 40\), et l'hypoténuse \(c\).
2. D'après le théorème de Pythagore : \(c^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 40^2\).
3. Calculons : \(81 + 1600 = 1681\).
4. Extrayons la racine : \(c = \sqrt{1681} = 41\).
5. Remarquons qu'il s'agit du triplet pythagoricien \(9\text{-}40\text{-}41\), et que l'hypoténuse est bien plus grande que les deux cathètes.

Réponse : L'hypoténuse mesure \(41\) cm.

Exemple 2 : Trouver une cathète à l'aide d'un triplet

Énoncé : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure \(26\) cm et une cathète mesure \(10\) cm. Trouvez l'autre cathète.

Solution :

1. Notons \(c = 26\) (hypoténuse), \(a = 10\), et la cathète cherchée \(b\).
2. On isole : \(b^2 = c^2 - a^2 = 26^2 - 10^2\).
3. Calculons : \(676 - 100 = 576\).
4. Extrayons la racine : \(b = \sqrt{576} = 24\).
5. C'est le double du triplet \(5\text{-}12\text{-}13\), soit \(10\text{-}24\text{-}26\).

Réponse : L'autre cathète mesure \(24\) cm.

Exemple 3 : Vérifier si un triangle est rectangle

Énoncé : On donne un triangle dont les côtés mesurent \(20\), \(21\) et \(29\). Est-il rectangle ?

Solution :

1. Le côté le plus long est \(29\) ; s'il est rectangle, ce côté doit être l'hypoténuse.
2. Vérifions si \(20^2 + 21^2 = 29^2\).
3. Membre gauche : \(400 + 441 = 841\).
4. Membre droit : \(29^2 = 841\).
5. Les deux membres sont égaux, donc par réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Réponse : Oui, le triangle est rectangle (l'hypoténuse est le côté \(29\)).

Exemple 4 : Application — une échelle appuyée contre un mur

Énoncé : Une échelle de \(17\) m est appuyée contre un mur vertical, et son pied est à \(8\) m de la base du mur. À quelle hauteur le sommet de l'échelle atteint-il le mur ?

Solution :

1. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse \(c = 17\), la distance au sol est une cathète \(a = 8\), et la hauteur cherchée est la cathète \(b\).
2. On écrit : \(b^2 = c^2 - a^2 = 17^2 - 8^2\).
3. Calculons : \(289 - 64 = 225\).
4. Extrayons la racine : \(b = \sqrt{225} = 15\).
5. C'est le triplet \(8\text{-}15\text{-}17\).

Réponse : Le sommet de l'échelle atteint une hauteur de \(15\) m.

✗ Erreur fréquente : On additionne les carrés de tous les côtés même quand on cherche une cathète, ce qui donne une hypoténuse trop grande.

✓ La bonne méthode : Pour trouver une cathète, il faut soustraire : \(b^2 = c^2 - a^2\). L'addition ne s'utilise que lorsque l'hypoténuse est le côté manquant. Vérifiez toujours lequel des côtés est l'hypoténuse.

✗ Erreur fréquente : On confond l'hypoténuse et une cathète en substituant l'hypoténuse à la place d'une cathète dans la formule.

✓ La bonne méthode : L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit et le plus long. Notez-le \(c\) avant de commencer les calculs.

✗ Erreur fréquente : On oublie d'extraire la racine carrée à la fin et on laisse la réponse sous forme de carré, par exemple on dit que l'hypoténuse est 1681 au lieu de 41.

✓ La bonne méthode : La formule donne le carré du côté. La dernière étape est toujours d'extraire la racine carrée : \(c = \sqrt{c^2}\).

Formule centrale : \(a^2 + b^2 = c^2\), où \(c\) est l'hypoténuse.

• Trouver l'hypoténuse : \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• Trouver une cathète : \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)
• Triplets à retenir : \(3\text{-}4\text{-}5\), \(5\text{-}12\text{-}13\), \(8\text{-}15\text{-}17\), \(7\text{-}24\text{-}25\) et leurs multiples.
• Vérifier si un triangle est rectangle : comparer \(a^2 + b^2\) avec \(c^2\) du côté le plus long.