En un triángulo rectángulo se definen tres razones respecto a un ángulo agudo \(\alpha\):

La hipotenusa es el lado frente al ángulo recto (siempre el más largo). El cateto opuesto es el lado frente al ángulo \(\alpha\), y el cateto adyacente es el lado junto a \(\alpha\) que no es la hipotenusa.

¿Qué ocurre en los cuadriláteros?

• En el rectángulo todos los ángulos son \(90^\circ\). Una diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos congruentes. En ese triángulo la diagonal es siempre la hipotenusa y los dos lados del rectángulo son los catetos.
• Las dos diagonales del rectángulo se cortan y forman cuatro triángulos — pero estos no son rectángulos (las diagonales del rectángulo no son perpendiculares).
• En el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y se bisecan mutuamente, por lo que forman cuatro triángulos rectángulos.
• En el paralelogramo para obtener un triángulo rectángulo se traza la altura desde un vértice hasta el lado opuesto (o su prolongación).

Ejemplo 1: Identificar el seno en el triángulo formado por la diagonal de un rectángulo

Enunciado: En el rectángulo \(ABCD\) se traza la diagonal \(BD\). En el triángulo \(ABD\) el ángulo recto está en \(A\), y se dan \(AB = 6\) cm, \(AD = 8\) cm. Halla \(\sin(\angle ADB)\).

Solución:

1. En el triángulo \(ABD\) el ángulo recto está en \(A\), por lo que la diagonal \(BD\) es la hipotenusa.
2. Calculamos la hipotenusa con Pitágoras: \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. Respecto al ángulo \(\angle ADB\), el cateto opuesto es \(AB = 6\) (el lado frente al ángulo en \(D\)).
4. Por tanto \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

Respuesta: \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

Ejemplo 2: Coseno y tangente para el mismo ángulo

Enunciado: En el rectángulo \(ABCD\) se traza la diagonal \(BD\), siendo el ángulo recto del triángulo \(BCD\) en \(C\). Se da \(BC = 5\) cm y \(CD = 12\) cm. Halla \(\cos(\angle BDC)\) y \(\tan(\angle BDC)\).

Solución:

1. El ángulo recto está en \(C\), luego \(BD\) es la hipotenusa: \(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\).
2. Respecto al ángulo \(\angle BDC\) (en el vértice \(D\)): el cateto adyacente es \(CD = 12\) y el cateto opuesto es \(BC = 5\).
3. \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{12}{13}\).
4. \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{5}{12}\).

Respuesta: \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{12}{13}\), \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{5}{12}\).

Ejemplo 3: Identificar la hipotenusa en el triángulo de un paralelogramo con altura

Enunciado: En el paralelogramo \(ABCD\) se traza la altura \(DH\) desde el vértice \(D\) hasta el lado \(AB\), formando un ángulo recto en \(H\). En el triángulo \(AHD\) se da \(AD = 10\) cm y \(\angle DAH = 39^\circ\). Expresa \(DH\) usando la razón trigonométrica adecuada.

Solución:

1. En el triángulo \(AHD\) el ángulo recto está en \(H\), por lo que \(AD\) (el lado del paralelogramo) es la hipotenusa.
2. Respecto al ángulo \(\angle DAH = 39^\circ\): la altura \(DH\) es el cateto opuesto al ángulo.
3. Por tanto \(\sin(39^\circ) = \dfrac{DH}{AD}\), de donde \(DH = AD\cdot\sin(39^\circ) = 10\cdot\sin(39^\circ)\).
4. Calculamos: \(\sin(39^\circ)\approx 0.629\), luego \(DH \approx 6.29\) cm.

Respuesta: \(DH = 10\sin(39^\circ) \approx 6.29\) cm.

Ejemplo 4: Diagonales perpendiculares en el rombo

Enunciado: En el rombo \(ABCD\) las diagonales se cortan en el punto \(O\). Se da que la semidiagonal \(AO = 8\) cm y la semidiagonal \(BO = 6\) cm. En el triángulo \(ABO\) halla \(\sin(\angle BAO)\).

Solución:

1. En el rombo las diagonales son perpendiculares, por lo que el ángulo en \(O\) es \(90^\circ\) y el triángulo \(ABO\) es rectángulo.
2. El lado \(AB\) (lado del rombo) es la hipotenusa: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. Respecto al ángulo \(\angle BAO\) (en el vértice \(A\)): el cateto opuesto es \(BO = 6\).
4. Por tanto \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{BO}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

Respuesta: \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

✗ Error común: Se supone que las diagonales del rectángulo son perpendiculares y se afirma que forman cuatro triángulos rectángulos.

✓ La forma correcta: En el rectángulo las diagonales son iguales pero no perpendiculares, por lo que los cuatro triángulos que forman no son rectángulos. Las diagonales perpendiculares se obtienen en el rombo (y en el cuadrado).

✗ Error común: Se confunde el cateto opuesto con el cateto adyacente respecto al ángulo, y se usa el seno en lugar del coseno.

✓ La forma correcta: Marca siempre el ángulo específico: \(\sin\) mide el lado opuesto al ángulo dividido entre la hipotenusa, \(\cos\) mide el lado adyacente al ángulo dividido entre la hipotenusa.

✗ Error común: Se trata la diagonal como un cateto en la fórmula del seno del triángulo formado en el rectángulo.

✓ La forma correcta: Cuando la diagonal sale del ángulo recto queda frente a él, y por tanto es siempre la hipotenusa. Los catetos son los lados del cuadrilátero.

Las razones: \(\sin\alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}\), \(\tan\alpha = \dfrac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}}\).

• La diagonal del rectángulo es la hipotenusa; los lados del rectángulo son los catetos.
• Rectángulo: una diagonal genera 2 triángulos rectángulos.
• Rombo: dos diagonales perpendiculares generan 4 triángulos rectángulos.
• En el paralelogramo se traza una altura para obtener un triángulo rectángulo.
• Identifica siempre primero la hipotenusa (frente al ángulo recto) antes de aplicar la razón.