四边形中的三角函数
在四边形中画对角线时，内部会形成三角形——往往是直角三角形。本页将学习如何在四边形中识别正弦、余弦和正切，判断每个三角形中谁是斜边、谁是直角边，并理解为什么对角线能形成便于计算的三角形。
背景与基本定义
在直角三角形中，对锐角 \(\alpha\) 定义三个三角比：
\[ \sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} \]斜边是直角对面的边（始终最长）。对边是 \(\alpha\) 角对面的边，邻边是与 \(\alpha\) 相邻且不是斜边的那条边。
四边形中的情形：
- 矩形的每个角均为 \(90^\circ\)。一条对角线将矩形分成两个全等的直角三角形，对角线始终是斜边，矩形的两条边是直角边。
- 矩形的两条对角线相交形成四个三角形，但这些三角形不是直角三角形（矩形的对角线互不垂直）。
- 菱形的对角线互相垂直且互相平分，因此形成四个直角三角形。
- 平行四边形中，需从顶点向对边（或其延长线）作高才能得到直角三角形。
| 四边形 | 一条对角线 | 两条对角线 |
|---|---|---|
| 矩形 | 2 个直角三角形 | 4 个三角形（非直角） |
| 菱形 | 2 个三角形（非直角） | 4 个直角三角形 |
解题步骤
- 第一步 — 画出四边形，标注形成三角形的对角线或高，找出要使用的直角三角形。
- 第二步 — 找到直角（\(90^\circ\)），其对面的边即为斜边。
- 第三步 — 选定所求的锐角 \(\alpha\)，相对于该角标出对边和邻边。
- 第四步 — 选择正确的三角比：涉及对边和斜边用 \(\sin\)；涉及邻边和斜边用 \(\cos\)；仅涉及两条直角边用 \(\tan\)。
- 第五步 — 代入边长（或代数式）计算。验证正弦和余弦的值在 \(0\) 到 \(1\) 之间。
例题解析
例题 1： 识别矩形对角线所形成三角形中的正弦
题目： 矩形 \(ABCD\) 中画对角线 \(BD\)。在三角形 \(ABD\) 中直角在 \(A\)，已知 \(AB = 6\) 厘米，\(AD = 8\) 厘米，求 \(\sin(\angle ADB)\)。
解答：
- 在三角形 \(ABD\) 中直角在 \(A\)，因此对角线 \(BD\) 是斜边。
- 由勾股定理求斜边：\(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\)。
- 对于角 \(\angle ADB\)，对边为 \(AB = 6\)（\(D\) 角对面的边）。
- 因此 \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{6}{10} = 0.6\)。
答案： \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{6}{10} = 0.6\)。
例题 2： 同一角的余弦与正切
题目： 矩形 \(ABCD\) 中画对角线 \(BD\)，三角形 \(BCD\) 的直角在 \(C\)。已知 \(BC = 5\) 厘米，\(CD = 12\) 厘米，求 \(\cos(\angle BDC)\) 和 \(\tan(\angle BDC)\)。
解答：
- 直角在 \(C\)，因此 \(BD\) 是斜边：\(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\)。
- 对于角 \(\angle BDC\)（顶点在 \(D\)）：邻边为 \(CD = 12\)，对边为 \(BC = 5\)。
- \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{12}{13}\)。
- \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{5}{12}\)。
答案： \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{12}{13}\)，\(\tan(\angle BDC) = \dfrac{5}{12}\)。
例题 3： 识别平行四边形作高所形成三角形中的斜边
题目： 平行四边形 \(ABCD\) 中，从顶点 \(D\) 向边 \(AB\) 作高 \(DH\)，在 \(H\) 处形成直角。在三角形 \(AHD\) 中，已知 \(AD = 10\) 厘米，\(\angle DAH = 39^\circ\)，用适当的三角比表示 \(DH\)。
解答：
- 在三角形 \(AHD\) 中直角在 \(H\)，因此 \(AD\)（平行四边形的边）是斜边。
- 对于角 \(\angle DAH = 39^\circ\)：高 \(DH\) 是该角的对边。
- 因此 \(\sin(39^\circ) = \dfrac{DH}{AD}\)，从而 \(DH = AD\cdot\sin(39^\circ) = 10\cdot\sin(39^\circ)\)。
- 计算：\(\sin(39^\circ)\approx 0.629\)，故 \(DH \approx 6.29\) 厘米。
答案： \(DH = 10\sin(39^\circ) \approx 6.29\) 厘米。
例题 4： 菱形中互相垂直的对角线
题目： 菱形 \(ABCD\) 的对角线交于点 \(O\)。已知半对角线 \(AO = 8\) 厘米，\(BO = 6\) 厘米，在三角形 \(ABO\) 中求 \(\sin(\angle BAO)\)。
解答：
- 菱形的对角线互相垂直，因此 \(O\) 处的角为 \(90^\circ\)，三角形 \(ABO\) 是直角三角形。
- 边 \(AB\)（菱形的边）是斜边：\(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\)。
- 对于角 \(\angle BAO\)（顶点在 \(A\)）：对边为 \(BO = 6\)。
- 因此 \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{BO}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0.6\)。
答案： \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{6}{10} = 0.6\)。
常见错误
✗ 常见错误： 以为矩形的对角线互相垂直，声称形成四个直角三角形。
✓ 正确做法： 矩形的对角线等长但不互相垂直，所以交叉形成的四个三角形不是直角三角形。互相垂直的对角线出现在菱形（和正方形）中。
✗ 常见错误： 混淆对边与邻边，对某角错用正弦代替余弦。
✓ 正确做法： 始终标明具体的角：\(\sin\) 表示对边除以斜边，\(\cos\) 表示邻边除以斜边。
✗ 常见错误： 在矩形对角线形成的三角形中，将对角线当作直角边代入正弦公式。
✓ 正确做法： 对角线位于直角对面，因此它始终是斜边。直角边是四边形的各条边。
练习建议
- 提示 — 记忆口诀：\(\sin\)「对边÷斜边」，\(\cos\)「邻边÷斜边」，\(\tan\)「对边÷邻边」。
- 提示 — 矩形：一条对角线形成 2 个直角三角形；菱形：两条对角线形成 4 个直角三角形。
- 提示 — 验证：锐角的 \(\sin\) 和 \(\cos\) 值始终在 \(0\) 到 \(1\) 之间；若结果大于 \(1\)，说明斜边认错了。
- 提示 — 矩形的一条对角线形成的两个全等三角形中，互余角的三角比相等。
总结与关键公式
三角比：\(\sin\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}}\)，\(\cos\alpha = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\)，\(\tan\alpha = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}\)。
- 矩形的对角线是斜边；矩形的边是直角边。
- 矩形：一条对角线形成 2 个直角三角形。
- 菱形：两条互相垂直的对角线形成 4 个直角三角形。
- 平行四边形：作高才能得到直角三角形。
- 使用三角比前，始终先找到斜边（直角对面的边）。