في المثلث القائم الزاوية نعرِّف ثلاث نسب بالنسبة إلى الزاوية الحادة \(\alpha\):

الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة (الأطول دائماً). الضلع المقابل هو الضلع المواجه للزاوية \(\alpha\)، والضلع المجاور هو الضلع الملاصق لـ\(\alpha\) وليس الوتر.

ماذا يحدث في المضلعات الرباعية؟

• في المستطيل جميع الزوايا \(90^\circ\). يقسم القطر الواحد المستطيلَ إلى مثلثين قائمَين متطابقَين. في مثل هذا المثلث يكون القطر دائماً الوتر، وضلعا المستطيل هما الساقان.
• القطران معاً في المستطيل يتقاطعان ويكوّنان أربعة مثلثات — غير أنها ليست قائمة الزاوية (أقطار المستطيل ليست متعامدة).
• في المعين الأقطار متعامدة وتنصف كلٌّ منهما الأخرى، فتكوِّن أربعة مثلثات قائمة الزاوية.
• في متوازي الأضلاع لنحصل على مثلث قائم نُسقط ارتفاعاً من رأس إلى الضلع (أو امتداده).

مثال 1: تحديد الجيب في مثلث ناتج عن قطر مستطيل

السؤال: في المستطيل \(ABCD\) يُرسم القطر \(BD\). في المثلث \(ABD\) الزاوية القائمة عند \(A\)، وأُعطي \(AB = 6\) سم و\(AD = 8\) سم. أوجد \(\sin(\angle ADB)\).

الحل:

1. في المثلث \(ABD\) الزاوية القائمة عند \(A\)، إذاً القطر \(BD\) هو الوتر.
2. نحسب الوتر بمبرهنة فيثاغورس: \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. بالنسبة إلى الزاوية \(\angle ADB\)، الضلع المقابل هو \(AB = 6\) (المواجه للزاوية عند \(D\)).
4. إذاً \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{\text{مقابل}}{\text{وتر}} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

الإجابة: \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

مثال 2: جيب التمام والظل لنفس الزاوية

السؤال: في المستطيل \(ABCD\) يُرسم القطر \(BD\)، حيث الزاوية القائمة في المثلث \(BCD\) عند \(C\). أُعطي \(BC = 5\) سم و\(CD = 12\) سم. أوجد \(\cos(\angle BDC)\) و\(\tan(\angle BDC)\).

الحل:

1. الزاوية القائمة عند \(C\)، إذاً \(BD\) هو الوتر: \(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\).
2. بالنسبة إلى الزاوية \(\angle BDC\) (عند الرأس \(D\)): الضلع المجاور هو \(CD = 12\)، والضلع المقابل هو \(BC = 5\).
3. \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{\text{مجاور}}{\text{وتر}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{12}{13}\).
4. \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{5}{12}\).

الإجابة: \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{12}{13}\)، \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{5}{12}\).

مثال 3: تحديد الوتر في مثلث من متوازي أضلاع مع ارتفاع

السؤال: في متوازي الأضلاع \(ABCD\) يُسقَط ارتفاع \(DH\) من الرأس \(D\) إلى الضلع \(AB\)، فتنشأ زاوية قائمة عند \(H\). في المثلث \(AHD\) أُعطي \(AD = 10\) سم و\(\angle DAH = 39^\circ\). عبِّر عن \(DH\) بالنسبة المثلثية المناسبة.

الحل:

1. في المثلث \(AHD\) الزاوية القائمة عند \(H\)، إذاً \(AD\) (ضلع متوازي الأضلاع) هو الوتر.
2. بالنسبة إلى الزاوية \(\angle DAH = 39^\circ\): الارتفاع \(DH\) هو الضلع المقابل للزاوية.
3. إذاً \(\sin(39^\circ) = \dfrac{DH}{AD}\)، ومنه \(DH = AD\cdot\sin(39^\circ) = 10\cdot\sin(39^\circ)\).
4. نحسب: \(\sin(39^\circ)\approx 0.629\)، إذاً \(DH \approx 6.29\) سم.

الإجابة: \(DH = 10\sin(39^\circ) \approx 6.29\) سم.

مثال 4: الأقطار المتعامدة في المعين

السؤال: في المعين \(ABCD\) يتقاطع القطران في النقطة \(O\). أُعطي نصف القطر \(AO = 8\) سم ونصف القطر \(BO = 6\) سم. في المثلث \(ABO\) أوجد \(\sin(\angle BAO)\).

الحل:

1. في المعين الأقطار متعامدة، إذاً الزاوية عند \(O\) هي \(90^\circ\) والمثلث \(ABO\) قائم الزاوية.
2. الضلع \(AB\) (ضلع المعين) هو الوتر: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. بالنسبة إلى الزاوية \(\angle BAO\) (عند الرأس \(A\)): الضلع المقابل هو \(BO = 6\).
4. إذاً \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{BO}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

الإجابة: \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

✗ خطأ شائع: يفترض الطالب أن الأقطار في المستطيل متعامدة ويدّعي تكوّن أربعة مثلثات قائمة.

✓ الطريقة الصحيحة: في المستطيل الأقطار متساوية لكن غير متعامدة، لذا المثلثات الأربعة الناتجة ليست قائمة. الأقطار المتعامدة تنشأ في المعين (والمربع).

✗ خطأ شائع: يخلط الطالب بين الضلع المقابل والضلع المجاور بالنسبة إلى الزاوية، فيستخدم الجيب بدلاً من جيب التمام.

✓ الطريقة الصحيحة: حدِّد الزاوية المحددة دائماً: \(\sin\) يقيس الضلع المقابل مقسوماً على الوتر، و\(\cos\) يقيس الضلع المجاور مقسوماً على الوتر.

✗ خطأ شائع: يعامل الطالب القطر على أنه ساق في صيغة الجيب للمثلث الناتج في المستطيل.

✓ الطريقة الصحيحة: القطر مقابل للزاوية القائمة وبالتالي هو الوتر دائماً. الساقان هما ضلعا المضلع الرباعي.

النسب: \(\sin\alpha = \dfrac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}\)، \(\cos\alpha = \dfrac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}\)، \(\tan\alpha = \dfrac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}\).

• القطر في المستطيل هو الوتر؛ وضلعا المستطيل هما الساقان.
• المستطيل: قطر واحد يُنتج مثلثَين قائمَي الزاوية.
• المعين: قطران متعامدان يُنتجان 4 مثلثات قائمة.
• في متوازي الأضلاع نُسقط ارتفاعاً للحصول على مثلث قائم.
• حدِّد الوتر أولاً (المقابل للزاوية القائمة) قبل تطبيق أي نسبة.