במשולש ישר זווית מגדירים שלושה יחסים ביחס לזווית חדה \(\alpha\):

היתר הוא הצלע מול הזווית הישרה (תמיד הארוכה). הניצב המול הוא הצלע שממול לזווית \(\alpha\), הניצב הנושק הוא הצלע שצמודה ל-\(\alpha\) ואיננה היתר.

מה קורה במרובעים?

• במלבן כל הזוויות הן \(90^\circ\). אלכסון אחד מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית חופפים. במשולש כזה האלכסון הוא תמיד היתר, ושתי צלעות המלבן הן הניצבים.
• שני אלכסונים במלבן נחתכים ויוצרים ארבעה משולשים — אך אלה אינם ישרי זווית (האלכסונים במלבן אינם מאונכים).
• במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה, ולכן הם יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית.
• במקבילית כדי לקבל משולש ישר זווית מורידים גובה מקודקוד אל הצלע (או אל המשכה).

דוגמה 1: זיהוי סינוס במשולש שנוצר מאלכסון במלבן

השאלה: במלבן \(ABCD\) מעבירים את האלכסון \(BD\). במשולש \(ABD\) הזווית הישרה היא ב-\(A\), ונתון \(AB = 6\) ס"מ, \(AD = 8\) ס"מ. מצאו את \(\sin(\angle ADB)\).

פתרון:

1. במשולש \(ABD\) הזווית הישרה ב-\(A\), לכן האלכסון \(BD\) הוא היתר.
2. נחשב את היתר לפי פיתגורס: \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. ביחס לזווית \(\angle ADB\), הניצב המול הוא \(AB = 6\) (הצלע שממול לזווית ב-\(D\)).
4. לכן \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{\text{מול}}{\text{יתר}} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

תשובה: \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

דוגמה 2: קוסינוס וטנגנס לאותה זווית

השאלה: במלבן \(ABCD\) מעבירים אלכסון \(BD\), כאשר הזווית הישרה במשולש \(BCD\) היא ב-\(C\). נתון \(BC = 5\) ס"מ ו-\(CD = 12\) ס"מ. מצאו את \(\cos(\angle BDC)\) ואת \(\tan(\angle BDC)\).

פתרון:

1. הזווית הישרה ב-\(C\), לכן \(BD\) הוא היתר: \(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\).
2. ביחס לזווית \(\angle BDC\) (בקודקוד \(D\)): הניצב הנושק הוא \(CD = 12\), הניצב המול הוא \(BC = 5\).
3. \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{\text{נושק}}{\text{יתר}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{12}{13}\).
4. \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{\text{מול}}{\text{נושק}} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{5}{12}\).

תשובה: \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{12}{13}\), \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{5}{12}\).

דוגמה 3: זיהוי היתר במשולש ממקבילית עם גובה

השאלה: במקבילית \(ABCD\) מורידים גובה \(DH\) מהקודקוד \(D\) אל הצלע \(AB\), ונוצרת זווית ישרה ב-\(H\). במשולש \(AHD\) נתון \(AD = 10\) ס"מ ו-\(\angle DAH = 39^\circ\). הביעו את \(DH\) בעזרת היחס הטריגונומטרי המתאים.

פתרון:

1. במשולש \(AHD\) הזווית הישרה ב-\(H\), לכן \(AD\) (צלע המקבילית) הוא היתר.
2. ביחס לזווית \(\angle DAH = 39^\circ\): הגובה \(DH\) הוא הניצב המול לזווית.
3. לכן \(\sin(39^\circ) = \dfrac{DH}{AD}\), ומכאן \(DH = AD\cdot\sin(39^\circ) = 10\cdot\sin(39^\circ)\).
4. נחשב: \(\sin(39^\circ)\approx 0.629\), ולכן \(DH \approx 6.29\) ס"מ.

תשובה: \(DH = 10\sin(39^\circ) \approx 6.29\) ס"מ.

דוגמה 4: אלכסונים מאונכים במעוין

השאלה: במעוין \(ABCD\) האלכסונים נחתכים בנקודה \(O\). נתון שחצי האלכסון \(AO = 8\) ס"מ וחצי האלכסון \(BO = 6\) ס"מ. במשולש \(ABO\) מצאו את \(\sin(\angle BAO)\).

פתרון:

1. במעוין האלכסונים מאונכים, לכן הזווית ב-\(O\) היא \(90^\circ\) והמשולש \(ABO\) ישר זווית.
2. הצלע \(AB\) (צלע המעוין) היא היתר: \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. ביחס לזווית \(\angle BAO\) (בקודקוד \(A\)): הניצב המול הוא \(BO = 6\).
4. לכן \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{BO}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

תשובה: \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{6}{10} = 0.6\).

✗ טעות נפוצה: מניחים שהאלכסונים במלבן מאונכים וטוענים שנוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית.

✓ הדרך הנכונה: במלבן האלכסונים שווים אך אינם מאונכים, ולכן ארבעת המשולשים שנוצרים אינם ישרי זווית. אלכסונים מאונכים מתקבלים במעוין (ובריבוע).

✗ טעות נפוצה: מבלבלים בין הניצב המול לניצב הנושק ביחס לזווית, ומשתמשים בסינוס במקום בקוסינוס.

✓ הדרך הנכונה: סמנו תמיד את הזווית הספציפית: \(\sin\) מודד את הצלע שממול לזווית חלקי היתר, \(\cos\) את הצלע הצמודה לזווית חלקי היתר.

✗ טעות נפוצה: מתייחסים לאלכסון כאל ניצב בנוסחת הסינוס במשולש שנוצר במלבן.

✓ הדרך הנכונה: כשהאלכסון יוצא מהזווית הישרה הוא ממול לה, ולכן הוא תמיד היתר. הניצבים הם צלעות המרובע.

היחסים: \(\sin\alpha = \dfrac{\text{מול}}{\text{יתר}}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\text{נושק}}{\text{יתר}}\), \(\tan\alpha = \dfrac{\text{מול}}{\text{נושק}}\).

• האלכסון במלבן הוא היתר; צלעות המלבן הן הניצבים.
• מלבן: אלכסון אחד יוצר 2 משולשים ישרי זווית.
• מעוין: שני אלכסונים מאונכים יוצרים 4 משולשים ישרי זווית.
• במקבילית מורידים גובה כדי לקבל משולש ישר זווית.
• תמיד זהו קודם את היתר (מול הזווית הישרה) לפני שמיישמים את היחס.