Dans un triangle rectangle, on définit trois rapports par rapport à un angle aigu \(\alpha\) :

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit (toujours le plus long). Le côté opposé est le côté en face de l'angle \(\alpha\), le côté adjacent est le côté qui touche \(\alpha\) sans être l'hypoténuse.

Que se passe-t-il dans les quadrilatères ?

• Dans un rectangle, tous les angles sont \(90^\circ\). Une diagonale partage le rectangle en deux triangles rectangles congrus. Dans ce triangle, la diagonale est toujours l'hypoténuse, et les deux côtés du rectangle sont les cathètes.
• Les deux diagonales d'un rectangle se coupent et forment quatre triangles — mais ceux-ci ne sont pas rectangles (les diagonales d'un rectangle ne sont pas perpendiculaires).
• Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent mutuellement en deux, formant ainsi quatre triangles rectangles.
• Dans un parallélogramme, pour obtenir un triangle rectangle, on abaisse une hauteur d'un sommet vers le côté (ou son prolongement).

Exemple 1 : Identifier le sinus dans un triangle formé par la diagonale d'un rectangle

Énoncé : Dans le rectangle \(ABCD\), on trace la diagonale \(BD\). Dans le triangle \(ABD\), l'angle droit est en \(A\), et on donne \(AB = 6\) cm, \(AD = 8\) cm. Trouvez \(\sin(\angle ADB)\).

Solution :

1. Dans le triangle \(ABD\), l'angle droit est en \(A\), donc la diagonale \(BD\) est l'hypoténuse.
2. Calculons l'hypoténuse avec Pythagore : \(BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. Par rapport à l'angle \(\angle ADB\), le côté opposé est \(AB = 6\) (le côté en face de l'angle en \(D\)).
4. Donc \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{AB}{BD} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

Réponse : \(\sin(\angle ADB) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

Exemple 2 : Cosinus et tangente pour le même angle

Énoncé : Dans le rectangle \(ABCD\), on trace la diagonale \(BD\), avec l'angle droit du triangle \(BCD\) en \(C\). On donne \(BC = 5\) cm et \(CD = 12\) cm. Trouvez \(\cos(\angle BDC)\) et \(\tan(\angle BDC)\).

Solution :

1. L'angle droit est en \(C\), donc \(BD\) est l'hypoténuse : \(BD = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13\).
2. Par rapport à l'angle \(\angle BDC\) (au sommet \(D\)) : le côté adjacent est \(CD = 12\), le côté opposé est \(BC = 5\).
3. \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{CD}{BD} = \dfrac{12}{13}\).
4. \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{BC}{CD} = \dfrac{5}{12}\).

Réponse : \(\cos(\angle BDC) = \dfrac{12}{13}\), \(\tan(\angle BDC) = \dfrac{5}{12}\).

Exemple 3 : Identifier l'hypoténuse dans un triangle d'un parallélogramme avec hauteur

Énoncé : Dans le parallélogramme \(ABCD\), on abaisse la hauteur \(DH\) du sommet \(D\) vers le côté \(AB\), formant un angle droit en \(H\). Dans le triangle \(AHD\), on donne \(AD = 10\) cm et \(\angle DAH = 39^\circ\). Exprimez \(DH\) à l'aide du rapport trigonométrique approprié.

Solution :

1. Dans le triangle \(AHD\), l'angle droit est en \(H\), donc \(AD\) (côté du parallélogramme) est l'hypoténuse.
2. Par rapport à l'angle \(\angle DAH = 39^\circ\) : la hauteur \(DH\) est le côté opposé à cet angle.
3. Donc \(\sin(39^\circ) = \dfrac{DH}{AD}\), d'où \(DH = AD\cdot\sin(39^\circ) = 10\cdot\sin(39^\circ)\).
4. On calcule : \(\sin(39^\circ)\approx 0{,}629\), donc \(DH \approx 6{,}29\) cm.

Réponse : \(DH = 10\sin(39^\circ) \approx 6{,}29\) cm.

Exemple 4 : Diagonales perpendiculaires dans un losange

Énoncé : Dans le losange \(ABCD\), les diagonales se coupent au point \(O\). On donne la demi-diagonale \(AO = 8\) cm et la demi-diagonale \(BO = 6\) cm. Dans le triangle \(ABO\), trouvez \(\sin(\angle BAO)\).

Solution :

1. Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires, donc l'angle en \(O\) est \(90^\circ\) et le triangle \(ABO\) est rectangle.
2. Le côté \(AB\) (côté du losange) est l'hypoténuse : \(AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\).
3. Par rapport à l'angle \(\angle BAO\) (au sommet \(A\)) : le côté opposé est \(BO = 6\).
4. Donc \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{BO}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

Réponse : \(\sin(\angle BAO) = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\).

✗ Erreur fréquente : On suppose que les diagonales d'un rectangle sont perpendiculaires et on affirme que quatre triangles rectangles sont formés.

✓ La bonne méthode : Dans un rectangle, les diagonales sont égales mais ne sont pas perpendiculaires ; les quatre triangles formés ne sont donc pas rectangles. Les diagonales perpendiculaires se trouvent dans le losange (et dans le carré).

✗ Erreur fréquente : On confond le côté opposé et le côté adjacent par rapport à un angle, et on utilise sinus à la place de cosinus.

✓ La bonne méthode : Indiquez toujours l'angle précis : \(\sin\) mesure le côté opposé à l'angle divisé par l'hypoténuse, \(\cos\) mesure le côté adjacent à l'angle divisé par l'hypoténuse.

✗ Erreur fréquente : On traite la diagonale comme une cathète dans la formule du sinus pour le triangle formé dans le rectangle.

✓ La bonne méthode : La diagonale est en face de l'angle droit, donc elle est toujours l'hypoténuse. Les cathètes sont les côtés du quadrilatère.

Les rapports : \(\sin\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\), \(\cos\alpha = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\), \(\tan\alpha = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).

• La diagonale d'un rectangle est l'hypoténuse ; les côtés du rectangle sont les cathètes.
• Rectangle : une diagonale forme 2 triangles rectangles.
• Losange : deux diagonales perpendiculaires forment 4 triangles rectangles.
• Dans un parallélogramme, on abaisse une hauteur pour obtenir un triangle rectangle.
• Identifiez toujours d'abord l'hypoténuse (en face de l'angle droit) avant d'appliquer un rapport trigonométrique.