Problemas de trabajo y caudal compartido

Problemas de trabajo y caudal compartido

Los problemas de trabajo y caudal responden a la pregunta de con qué rapidez se realiza una tarea — llenar una piscina, pintar una pared o terminar un proyecto. La idea central es sencilla y poderosa: si consideramos el trabajo completo como una unidad, podemos sumar los rendimientos de distintos trabajadores. En esta página aprenderemos la fórmula del rendimiento, resolveremos problemas de trabajo conjunto y trataremos también los grifos de llenado y vaciado que actúan en sentidos opuestos.

Contexto y definiciones básicas

Rendimiento (tasa de trabajo) es la fracción del trabajo realizada por unidad de tiempo:

\[ \text{Rendimiento} = \frac{\text{trabajo}}{\text{tiempo}} \]

Convención central: el trabajo completo se representa como \(1\) (una piscina llena, una pared completa). Por tanto, si un trabajador termina el trabajo en \(a\) horas, su rendimiento es \( \frac{1}{a} \) del trabajo por hora.

Trabajo conjunto: cuando dos trabajadores trabajan juntos, sus rendimientos se suman:

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \]

donde \(T\) es el tiempo conjunto. De aquí se obtiene la fórmula abreviada:

\[ T = \frac{a \cdot b}{a + b} \]

Fracción completada en un tiempo dado: si trabajan juntos \(t\) horas, la fracción del trabajo completada es \( t \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \).

Grifo de llenado frente a grifo de vaciado: el vaciado actúa en sentido contrario, por lo que los rendimientos se restan: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). Si el llenado es más rápido, la piscina se llena; si el vaciado es más rápido, se vacía; si son iguales, no hay cambio.

Pasos de resolución

  1. Paso 1 — Representa el trabajo completo como \(1\) y escribe el rendimiento de cada agente como \( \frac{1}{\text{su tiempo}} \).
  2. Paso 2 — Determina si los agentes actúan en el mismo sentido (suma de rendimientos) o en sentidos opuestos — llenado vs. vaciado (resta).
  3. Paso 3 — Suma o resta los rendimientos para obtener el rendimiento conjunto.
  4. Paso 4 — El tiempo conjunto es el inverso del rendimiento conjunto: \( T = \frac{1}{\text{rendimiento conjunto}} \).
  5. Paso 5 — Para calcular la fracción completada, multiplica el rendimiento conjunto por el tiempo de trabajo.
  6. Paso 6 — Verifica la lógica: el tiempo conjunto siempre debe ser menor que el tiempo del trabajador más rápido por sí solo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Del rendimiento al tiempo

Enunciado: Un trabajador pinta \( \frac{1}{5} \) de la pared por hora. ¿Cuánto tiempo tardará en pintar la pared completa?

Solución:

  1. La pared completa es \(1\) y el rendimiento del trabajador es \( \frac{1}{5} \) por hora.
  2. El tiempo es el inverso del rendimiento: \( T = \frac{1}{1/5} = 5 \).
  3. En efecto: en \(5\) horas pinta \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \), es decir, la pared completa.

Respuesta: Tardará \( 5 \) horas.

Ejemplo 2: Dos grifos juntos

Enunciado: El grifo \(A\) llena la piscina en \(3\) horas y el grifo \(B\) la llena en \(6\) horas. ¿En cuánto tiempo la llenarán juntos?

Solución:

  1. Rendimientos: \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{1}{6} \) por hora.
  2. Rendimiento conjunto: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) por hora.
  3. Tiempo conjunto: \( T = \frac{1}{1/2} = 2 \) horas.
  4. También con la fórmula: \( T = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \).

Respuesta: Juntos llenarán la piscina en \( 2 \) horas.

Ejemplo 3: Fracción completada en un tiempo dado

Enunciado: El trabajador \(A\) termina un trabajo en \(8\) horas y el trabajador \(B\) en \(12\) horas. ¿Qué fracción del trabajo completarán juntos en \(3\) horas?

Solución:

  1. Rendimiento conjunto: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \) por hora.
  2. Fracción completada en \(3\) horas: \( 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \).
  3. Es decir, completaron \( \frac{5}{8} \) del trabajo; queda por completar \( \frac{3}{8} \).

Respuesta: Completarán \( \frac{5}{8} \) del trabajo.

Ejemplo 4: Llenado frente a vaciado

Enunciado: Un grifo de llenado llena la piscina en \(4\) horas y un agujero en el fondo la vacía en \(6\) horas. La piscina está vacía y ambos están abiertos. ¿En cuánto tiempo se llenará?

Solución:

  1. El llenado y el vaciado actúan en sentidos opuestos, por lo que restamos: \( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \).
  2. Con denominador común: \( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \) por hora — rendimiento neto positivo, así que la piscina se llena.
  3. Tiempo: \( T = \frac{1}{1/12} = 12 \) horas.

Respuesta: La piscina se llenará en \( 12 \) horas.

Ejemplo 5: Número de trabajadores necesario

Enunciado: \(6\) trabajadores terminan un trabajo en \(15\) días. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para terminar el mismo trabajo en \(10\) días (al mismo ritmo)?

Solución:

  1. Total del trabajo en días-hombre: \( 6 \times 15 = 90 \) días-hombre.
  2. Para terminar en \(10\) días se necesitan \( \frac{90}{10} = 9 \) trabajadores.
  3. Es una relación inversa: menos días \(\Rightarrow\) más trabajadores, y el producto días × trabajadores se mantiene constante.

Respuesta: Se necesitan \( 9 \) trabajadores.

Errores comunes

✗ Error común: Se suman los tiempos en lugar de los rendimientos; por ejemplo, se dice que dos grifos de \(3\) y \(6\) horas llenarán en \(9\) horas.

✓ La forma correcta: Se suman los rendimientos, no los tiempos: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \), por tanto \(2\) horas. El tiempo conjunto siempre es menor que el tiempo de cada uno por separado.

✗ Error común: En el problema del grifo de llenado y vaciado se suman los rendimientos en lugar de restarlos.

✓ La forma correcta: El vaciado actúa en sentido contrario, así que hay que restar: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). Si el resultado es negativo, el vaciado supera al llenado y la piscina se vacía.

✗ Error común: Se olvida que el trabajo completo es \(1\) y se confunde con cantidades concretas (litros, m²).

✓ La forma correcta: Representa siempre el trabajo completo como \(1\). Así cada rendimiento es una fracción de \(1\), y el cálculo se vuelve sencillo e independiente del tamaño físico.

Consejos de práctica

  • Consejo — fórmula abreviada para dos agentes: \( T = \frac{a \cdot b}{a + b} \). Producto entre suma.
  • Consejo — verificación de lógica: el tiempo conjunto debe ser menor que el tiempo del trabajador más rápido por sí solo.
  • Consejo — para «cuánto completaron» usa «fracción = rendimiento \(\times\) tiempo» y complementa a \(1\) para encontrar lo que queda.
  • Consejo — en la relación inversa (trabajadores × días) el producto se mantiene constante — igual a la cantidad total de trabajo.

Resumen y fórmulas clave

  • Rendimiento \( = \frac{\text{trabajo}}{\text{tiempo}} \); trabajo completo \( = 1 \).
  • Trabajador que termina en \(a\) horas \(\Rightarrow\) rendimiento \( \frac{1}{a} \).
  • Trabajo conjunto: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \), por tanto \( T = \frac{ab}{a+b} \).
  • Llenado vs. vaciado: se restan los rendimientos, \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \).
  • Fracción completada \( = t \cdot \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \big) \).