הספק (קצב עבודה) הוא חלק העבודה הנעשה ביחידת זמן:

המוסכמה המרכזית: את העבודה השלמה מסמנים כ-\(1\) (בריכה אחת מלאה, קיר אחד שלם). לכן אם פועל מסיים עבודה ב-\(a\) שעות, הספקו הוא \( \frac{1}{a} \) מהעבודה בשעה.

עבודה משותפת: כששניים עובדים יחד הספקיהם מתחברים:

כאשר \(T\) הוא הזמן המשותף. מכאן הנוסחה המקוצרת:

חלק שנעשה בזמן נתון: אם עובדים יחד \(t\) שעות, חלק העבודה שהושלם הוא \( t \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \).

ברז מילוי מול ברז ריקון: ריקון פועל בכיוון ההפוך, ולכן ההספקים נחסרים: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). אם המילוי חזק יותר הבריכה מתמלאת; אם הריקון חזק יותר היא מתרוקנת; ואם הם שווים — אין שינוי.

דוגמה 1: מהספק לזמן

השאלה: פועל צובע \( \frac{1}{5} \) מהקיר בכל שעה. כמה זמן ייקח לו לצבוע קיר שלם?

פתרון:

1. הקיר השלם הוא \(1\), והספק הפועל הוא \( \frac{1}{5} \) בשעה.
2. הזמן הוא היפוך ההספק: \( T = \frac{1}{1/5} = 5 \).
3. אכן: ב-\(5\) שעות הוא צובע \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \), כלומר קיר שלם.

תשובה: ייקח לו \( 5 \) שעות.

דוגמה 2: שני ברזים יחד

השאלה: ברז \(A\) ממלא בריכה ב-\(3\) שעות, וברז \(B\) ממלא אותה ב-\(6\) שעות. בכמה זמן ימלאו את הבריכה יחד?

פתרון:

1. הספקים: \( \frac{1}{3} \) ו-\( \frac{1}{6} \) בשעה.
2. הספק משותף: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) בשעה.
3. הזמן המשותף: \( T = \frac{1}{1/2} = 2 \) שעות.
4. אפשר גם בנוסחה: \( T = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \).

תשובה: יחד ימלאו את הבריכה ב-\( 2 \) שעות.

דוגמה 3: איזה חלק הושלם בזמן נתון

השאלה: פועל \(A\) מסיים עבודה ב-\(8\) שעות ופועל \(B\) מסיים אותה ב-\(12\) שעות. איזה חלק מהעבודה יסיימו יחד ב-\(3\) שעות?

פתרון:

1. הספק משותף: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \) בשעה.
2. חלק שהושלם ב-\(3\) שעות: \( 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \).
3. כלומר השלימו \( \frac{5}{8} \) מהעבודה, וטרם הושלם \( \frac{3}{8} \).

תשובה: יסיימו \( \frac{5}{8} \) מהעבודה.

דוגמה 4: מילוי מול ריקון

השאלה: ברז מילוי ממלא בריכה ב-\(4\) שעות, ובתחתיתה נקב המרוקן בריכה מלאה ב-\(6\) שעות. הבריכה ריקה ושניהם פתוחים. בכמה זמן תתמלא?

פתרון:

1. המילוי והריקון פועלים בכיוונים מנוגדים, ולכן חוסרים: \( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \).
2. מכנה משותף: \( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \) בשעה — הספק נטו חיובי, אז הבריכה אכן מתמלאת.
3. הזמן: \( T = \frac{1}{1/12} = 12 \) שעות.

תשובה: הבריכה תתמלא ב-\( 12 \) שעות.

דוגמה 5: מספר פועלים נדרש

השאלה: \(6\) פועלים מסיימים עבודה ב-\(15\) ימים. כמה פועלים נדרשים כדי לסיים את אותה עבודה ב-\(10\) ימים (בקצב עבודה שווה)?

פתרון:

1. סך העבודה במונחי ימי-עבודה: \( 6 \times 15 = 90 \) ימי-פועל.
2. כדי לסיים ב-\(10\) ימים נדרשים \( \frac{90}{10} = 9 \) פועלים.
3. זהו יחס הפוך: פחות ימים \(\Rightarrow\) יותר פועלים, וכפל הימים בפועלים נשמר קבוע.

תשובה: נדרשים \( 9 \) פועלים.

✗ טעות נפוצה: מחברים את הזמנים במקום את ההספקים, למשל אומרים ששני ברזים של \(3\) ו-\(6\) שעות ימלאו ב-\(9\) שעות.

✓ הדרך הנכונה: מחברים הספקים ולא זמנים: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \), ולכן \(2\) שעות. הזמן המשותף תמיד קצר מהזמן של כל אחד לבד.

✗ טעות נפוצה: בברז מילוי וריקון מחברים את ההספקים במקום לחסר.

✓ הדרך הנכונה: ריקון פועל בכיוון מנוגד, ולכן יש לחסר: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). אם התוצאה שלילית — הריקון חזק מהמילוי והבריכה מתרוקנת.

✗ טעות נפוצה: שוכחים שהעבודה השלמה היא \(1\) ומתבלבלים עם כמויות (ליטרים, מ"ר).

✓ הדרך הנכונה: הציבו תמיד את העבודה השלמה כ-\(1\). אז כל הספק הוא שבר מתוך \(1\), והחישוב הופך פשוט וללא תלות בגודל הפיזי.

• הספק \( = \frac{\text{עבודה}}{\text{זמן}} \); עבודה שלמה \( = 1 \).
• עובד שמסיים ב-\(a\) שעות \(\Rightarrow\) הספק \( \frac{1}{a} \).
• עבודה משותפת: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \), ולכן \( T = \frac{ab}{a+b} \).
• מילוי מול ריקון: חוסרים את ההספקים, \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \).
• חלק שהושלם \( = t \cdot \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \big) \).