معدل العمل هو جزء العمل المنجز في وحدة الزمن:

الاتفاقية الأساسية: يُرمَز للعمل الكامل بـ\(1\) (حوض واحد مملوء، جدار واحد كامل). لذا إذا أتم عامل العمل في \(a\) ساعات، فمعدله \( \frac{1}{a} \) من العمل في الساعة.

العمل المشترك: حين يعمل اثنان معًا تتجمع معدلاتهما:

حيث \(T\) هو الزمن المشترك. ومنه الصيغة المختصرة:

الجزء المنجز في زمن معطى: إذا عملا معًا \(t\) ساعات، فالجزء المنجز هو \( t \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \).

صنبور الملء مقابل صنبور التفريغ: التفريغ يعمل بالاتجاه المعاكس، لذا تُطرح المعدلات: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). إن كان الملء أسرع فالحوض يمتلئ؛ وإن كان التفريغ أسرع فيتفرغ؛ وإن تساويا فلا تغيير.

مثال 1: من المعدل إلى الزمن

السؤال: عامل يطلي \( \frac{1}{5} \) من الجدار في كل ساعة. كم يستغرق لطلاء الجدار كاملًا؟

الحل:

1. الجدار كاملًا هو \(1\)، ومعدل العامل \( \frac{1}{5} \) في الساعة.
2. الزمن هو معكوس المعدل: \( T = \frac{1}{1/5} = 5 \).
3. فعلًا: في \(5\) ساعات يطلي \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \)، أي جدار كامل.

الإجابة: يستغرق \( 5 \) ساعات.

مثال 2: صنبوران معًا

السؤال: الصنبور \(A\) يملأ حوضًا في \(3\) ساعات، والصنبور \(B\) يملأه في \(6\) ساعات. في كم ساعة يملآنه معًا؟

الحل:

1. المعدلان: \( \frac{1}{3} \) و\( \frac{1}{6} \) في الساعة.
2. المعدل المشترك: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) في الساعة.
3. الزمن المشترك: \( T = \frac{1}{1/2} = 2 \) ساعتان.
4. يمكن أيضًا بالصيغة: \( T = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \).

الإجابة: يملآن الحوض معًا في \( 2 \) ساعتَين.

مثال 3: الجزء المنجز في زمن معطى

السؤال: العامل \(A\) يتم عملًا في \(8\) ساعات والعامل \(B\) يتمه في \(12\) ساعة. كم جزءًا سيتمان معًا في \(3\) ساعات؟

الحل:

1. المعدل المشترك: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \) في الساعة.
2. الجزء المنجز في \(3\) ساعات: \( 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \).
3. أي أتمّا \( \frac{5}{8} \) من العمل، ولا يزال \( \frac{3}{8} \) متبقيًا.

الإجابة: سيتمان \( \frac{5}{8} \) من العمل.

مثال 4: ملء مقابل تفريغ

السؤال: صنبور ملء يملأ حوضًا في \(4\) ساعات، وفي قاعه ثقب يُفرّغ الحوض الكامل في \(6\) ساعات. الحوض فارغ وكلاهما مفتوحان. كم يستغرق الامتلاء؟

الحل:

1. الملء والتفريغ يعملان في اتجاهَين متعاكسَين، فنطرح: \( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \).
2. المقام المشترك: \( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \) في الساعة — معدل صافٍ موجب، إذن الحوض يمتلئ فعلًا.
3. الزمن: \( T = \frac{1}{1/12} = 12 \) ساعة.

الإجابة: يمتلئ الحوض في \( 12 \) ساعة.

مثال 5: عدد العمال المطلوب

السؤال: \(6\) عمال يتمون عملًا في \(15\) يومًا. كم عاملًا يلزم لإتمام العمل ذاته في \(10\) أيام (بالمعدل ذاته)؟

الحل:

1. إجمالي العمل بوحدات أيام العمل: \( 6 \times 15 = 90 \) يوم-عامل.
2. لإتمامه في \(10\) أيام يلزم \( \frac{90}{10} = 9 \) عمال.
3. هذه علاقة عكسية: أيام أقل \(\Rightarrow\) عمال أكثر، وحاصل ضرب الأيام في العمال يبقى ثابتًا.

الإجابة: يلزم \( 9 \) عمال.

✗ خطأ شائع: جمع الأزمنة بدلًا من المعدلات، كأن يُقال إن صنبورَي \(3\) و\(6\) ساعات يملآن في \(9\) ساعات.

✓ الطريقة الصحيحة: نجمع المعدلات لا الأزمنة: \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)، ومنه الزمن \(2\) ساعة. الزمن المشترك دائمًا أقل من زمن كل فرد.

✗ خطأ شائع: في صنبور الملء والتفريغ يُجمَع المعدلان بدلًا من طرحهما.

✓ الطريقة الصحيحة: التفريغ يعمل بالعكس، لذا يجب الطرح: \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). إذا جاءت النتيجة سالبة — التفريغ أسرع والحوض يتفرغ.

✗ خطأ شائع: نسيان أن العمل الكامل = \(1\) والتشتت بالكميات (لترات، م²).

✓ الطريقة الصحيحة: ضع دائمًا العمل الكامل = \(1\). حينئذٍ كل معدل كسر من \(1\)، ويصبح الحساب بسيطًا بغض النظر عن الحجم الفعلي.

• المعدل \( = \frac{\text{العمل}}{\text{الزمن}} \)؛ العمل الكامل \( = 1 \).
• عامل يتم في \(a\) ساعات \(\Rightarrow\) معدله \( \frac{1}{a} \).
• العمل المشترك: \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \)، ومنه \( T = \frac{ab}{a+b} \).
• ملء مقابل تفريغ: نطرح المعدلات، \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \).
• الجزء المنجز \( = t \cdot \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \big) \).