工作效率应用题——合作与水管问题

工作效率应用题——合作与水管问题

工作效率应用题探讨工作完成的速度——装满水池、粉刷墙壁或完成项目。核心思路简单而有力：将完整工作量视为一个单位，就可以将不同工作者的效率相加。本页将学习效率公式，解决合作完成工作的问题，并处理注水管与排水管相互对立的情形。

背景与基本定义

工作效率（工作速率）是单位时间内完成的工作量：

\[ \text{效率} = \frac{\text{工作量}}{\text{时间}} \]

核心约定：将完整工作量记为 \(1\)（一满池水，一面完整的墙）。因此，若一名工人在 \(a\) 小时内完成工作，其每小时效率为 \( \frac{1}{a} \)。

合作完成工作：两人合作时，效率相加：

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \]

其中 \(T\) 是合作完成所需时间。由此得到简化公式：

\[ T = \frac{a \cdot b}{a + b} \]

给定时间内完成的工作量：若合作 \(t\) 小时，完成的工作量为 \( t \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \)。

注水管与排水管的对比：排水管方向相反，因此效率需要相减：\( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \)。若注水更快则水池蓄水；若排水更快则水池排空；若速率相等则水位不变。

解题步骤

  1. 第一步——将完整工作量记为 \(1\)，将每个因素的效率写为 \( \frac{1}{\text{其完成时间}} \)。
  2. 第二步——判断各因素是同向工作（效率相加）还是反向——注水对排水（效率相减）。
  3. 第三步——将效率相加/相减，得到合作效率。
  4. 第四步——合作所需时间是合作效率的倒数：\( T = \frac{1}{\text{合作效率}} \)。
  5. 第五步——计算已完成的工作量时，将合作效率乘以工作时间。
  6. 第六步——合理性检验：合作时间必须短于最快工作者单独完成所需的时间。

例题解析

例题 1： 从效率到时间

题目： 一名工人每小时粉刷墙面的 \( \frac{1}{5} \)。他粉刷完一整面墙需要多长时间？

解答：

  1. 整面墙为 \(1\)，工人的效率为每小时 \( \frac{1}{5} \)。
  2. 所需时间是效率的倒数：\( T = \frac{1}{1/5} = 5 \)。
  3. 验证：\(5\) 小时内粉刷了 \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \)，即一整面墙。

答案： 需要 \( 5 \) 小时。

例题 2： 两根水管共同注水

题目： 水管 \(A\) 在 \(3\) 小时内注满水池，水管 \(B\) 在 \(6\) 小时内注满同一水池。两管同时开启，需要多长时间注满？

解答：

  1. 各管效率：每小时 \( \frac{1}{3} \) 和 \( \frac{1}{6} \)。
  2. 合作效率：\( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) 每小时。
  3. 合作时间：\( T = \frac{1}{1/2} = 2 \) 小时。
  4. 也可用公式：\( T = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \)。

答案： 两管同时注水，\( 2 \) 小时后注满。

例题 3： 给定时间内完成的工作量

题目： 工人 \(A\) 独立完成工作需 \(8\) 小时，工人 \(B\) 需 \(12\) 小时。两人合作 \(3\) 小时可完成多少工作量？

解答：

  1. 合作效率：\( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \) 每小时。
  2. \(3\) 小时内完成的工作量：\( 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \)。
  3. 即完成了 \( \frac{5}{8} \) 的工作量，尚余 \( \frac{3}{8} \) 未完成。

答案： 将完成 \( \frac{5}{8} \) 的工作量。

例题 4： 注水管与排水孔

题目： 注水管在 \(4\) 小时内注满水池，池底有一个漏洞，满池水会在 \(6\) 小时内排空。水池为空，两者同时开启，多久注满？

解答：

  1. 注水和排水方向相反，因此相减：\( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \)。
  2. 通分：\( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \) 每小时——净效率为正，水池确实在蓄水。
  3. 所需时间：\( T = \frac{1}{1/12} = 12 \) 小时。

答案： 水池在 \( 12 \) 小时后注满。

例题 5： 所需工人数

题目： \(6\) 名工人在 \(15\) 天内完成一项工作。若要在 \(10\) 天内完成同样的工作（工作效率相同），需要多少工人？

解答：

  1. 总工作量（以工人·天计）：\( 6 \times 15 = 90 \) 个工人·天。
  2. 要在 \(10\) 天内完成，需要 \( \frac{90}{10} = 9 \) 名工人。
  3. 这是反比关系：天数减少 \(\Rightarrow\) 工人增加，天数与工人数的乘积保持不变。

答案： 需要 \( 9 \) 名工人。

常见错误

✗ 常见错误： 将时间相加而非效率相加，例如认为 \(3\) 小时和 \(6\) 小时的两根水管合计需 \(9\) 小时。

✓ 正确做法： 要相加效率，而不是时间：\( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)，因此需 \(2\) 小时。合作时间始终短于任何一人单独完成的时间。

✗ 常见错误： 对于注水管和排水管，将效率相加而非相减。

✓ 正确做法： 排水管方向相反，因此要相减：\( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \)。若结果为负——排水快于注水，水池将排空。

✗ 常见错误： 忘记完整工作量为 \(1\)，与实物数量（升、平方米）相混淆。

✓ 正确做法： 始终将完整工作量设为 \(1\)。这样每个效率都是 \(1\) 的一个分数，计算变得简单，与实际物理量无关。

练习建议

  • 提示——两人合作的简化公式：\( T = \frac{a \cdot b}{a + b} \)。乘积除以和。
  • 提示——合理性检验：合作时间必须短于最快工作者单独完成的时间。
  • 提示——对于"完成了多少"类问题，使用"完成量 = 效率 \(\times\) 时间"，再用 \(1\) 减去已完成量得到剩余量。
  • 提示——在反比关系中（工人与天数），工人数 \(\times\) 天数 的乘积保持不变——等于总工作量。

总结与关键公式

  • 效率 \( = \frac{\text{工作量}}{\text{时间}} \)；完整工作量 \( = 1 \)。
  • 在 \(a\) 小时内完成工作的工人 \(\Rightarrow\) 效率 \( \frac{1}{a} \)。
  • 合作完成工作： \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \)，因此 \( T = \frac{ab}{a+b} \)。
  • 注水管对排水管：效率相减，\( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \)。
  • 已完成工作量 \( = t \cdot \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \big) \)。