Le débit (taux de travail) est la fraction du travail accomplie par unité de temps :

La convention centrale : le travail complet est noté \(1\) (une piscine pleine, un mur entier). Ainsi, si un ouvrier termine le travail en \(a\) heures, son débit est \( \frac{1}{a} \) du travail par heure.

Travail en commun : quand deux travailleurs collaborent, leurs débits s'additionnent :

où \(T\) est la durée commune. D'où la formule raccourcie :

Fraction accomplie en un temps donné : si l'on travaille ensemble pendant \(t\) heures, la fraction du travail accomplie est \( t \cdot \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \).

Robinet de remplissage vs robinet de vidange : la vidange agit en sens contraire, donc les débits se soustraient : \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). Si le remplissage est plus rapide, la piscine se remplit ; si la vidange est plus rapide, elle se vide ; s'ils sont égaux — pas de changement.

Exemple 1 : Du débit à la durée

Énoncé : Un ouvrier peint \( \frac{1}{5} \) du mur chaque heure. Combien de temps lui faudra-t-il pour peindre un mur entier ?

Solution :

1. Le mur entier vaut \(1\), et le débit de l'ouvrier est \( \frac{1}{5} \) par heure.
2. La durée est l'inverse du débit : \( T = \frac{1}{1/5} = 5 \).
3. En effet : en \(5\) heures il peint \( 5 \times \frac{1}{5} = 1 \), soit un mur entier.

Réponse : Il lui faudra \( 5 \) heures.

Exemple 2 : Deux robinets ensemble

Énoncé : Le robinet \(A\) remplit une piscine en \(3\) heures, et le robinet \(B\) la remplit en \(6\) heures. En combien de temps la rempliront-ils ensemble ?

Solution :

1. Débits : \( \frac{1}{3} \) et \( \frac{1}{6} \) par heure.
2. Débit commun : \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) par heure.
3. Durée commune : \( T = \frac{1}{1/2} = 2 \) heures.
4. On peut aussi utiliser la formule : \( T = \frac{3 \cdot 6}{3 + 6} = \frac{18}{9} = 2 \).

Réponse : Ensemble, ils rempliront la piscine en \( 2 \) heures.

Exemple 3 : Fraction du travail accomplie en un temps donné

Énoncé : L'ouvrier \(A\) termine un travail en \(8\) heures et l'ouvrier \(B\) le termine en \(12\) heures. Quelle fraction du travail accompliront-ils ensemble en \(3\) heures ?

Solution :

1. Débit commun : \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24} \) par heure.
2. Fraction accomplie en \(3\) heures : \( 3 \times \frac{5}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \).
3. Ils ont donc accompli \( \frac{5}{8} \) du travail, et il reste \( \frac{3}{8} \) à faire.

Réponse : Ils accompliront \( \frac{5}{8} \) du travail.

Exemple 4 : Remplissage vs vidange

Énoncé : Un robinet de remplissage remplit la piscine en \(4\) heures, et une fuite au fond la viderait entière en \(6\) heures. La piscine est vide et les deux sont ouverts. En combien de temps sera-t-elle pleine ?

Solution :

1. Le remplissage et la vidange agissent en sens contraire, donc on soustrait : \( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \).
2. Dénominateur commun : \( \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12} \) par heure — débit net positif, donc la piscine se remplit bien.
3. Durée : \( T = \frac{1}{1/12} = 12 \) heures.

Réponse : La piscine sera pleine en \( 12 \) heures.

Exemple 5 : Nombre d'ouvriers requis

Énoncé : \(6\) ouvriers terminent un travail en \(15\) jours. Combien d'ouvriers faut-il pour terminer le même travail en \(10\) jours (au même rythme) ?

Solution :

1. Volume total de travail en jours-ouvriers : \( 6 \times 15 = 90 \) jours-ouvriers.
2. Pour terminer en \(10\) jours il faut \( \frac{90}{10} = 9 \) ouvriers.
3. C'est une relation inverse : moins de jours \(\Rightarrow\) plus d'ouvriers, et le produit jours × ouvriers reste constant.

Réponse : Il faut \( 9 \) ouvriers.

✗ Erreur fréquente : On additionne les durées au lieu des débits, par exemple on dit que deux robinets de \(3\) et \(6\) heures rempliront en \(9\) heures.

✓ La bonne méthode : On additionne les débits, pas les durées : \( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \), donc \(2\) heures. La durée commune est toujours inférieure à la durée de chacun seul.

✗ Erreur fréquente : Pour un robinet de remplissage et un robinet de vidange, on additionne les débits au lieu de les soustraire.

✓ La bonne méthode : La vidange agit en sens contraire, il faut donc soustraire : \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \). Si le résultat est négatif, la vidange est plus puissante que le remplissage et la piscine se vide.

✗ Erreur fréquente : On oublie que le travail complet vaut \(1\) et on se mélange avec des quantités (litres, m²).

✓ La bonne méthode : Posez toujours le travail complet comme \(1\). Ainsi chaque débit est une fraction de \(1\), et le calcul devient simple et indépendant de la grandeur physique.

• Débit \( = \frac{\text{travail}}{\text{temps}} \) ; travail complet \( = 1 \).
• Un ouvrier finissant en \(a\) heures \(\Rightarrow\) débit \( \frac{1}{a} \).
• Travail en commun : \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T} \), donc \( T = \frac{ab}{a+b} \).
• Remplissage vs vidange : on soustrait les débits, \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \).
• Fraction accomplie \( = t \cdot \big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \big) \).