摘要

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• 统计学:描述统计章节导览

  描述统计章节导览:从认识数据、集中量数、离散量数,到相对位置 Z 与百分位。把数据收集到诠释串成一条完整线索。

• 统计学:点估计 vs 区间估计

  点估计与区间估计的差异:点估计给出单一值,区间估计给出参数所在的范围 - 加上简短示例与说明。

• 统计学:置信水平与显著性水平

  置信水平 (1-α) 与显著性水平 α 之间的关系,加上 90%、95%、99% 置信水平的关键 Z 值表。

• 统计学:总体均值的置信区间 - 方差已知

  当总体方差已知时,总体均值的置信区间:Z 临界值的公式 X̄ ± Z·σ/√n,组成部分说明,以及完整的工作示例。

• 统计学:总体均值的置信区间 - 方差未知

  当总体方差未知时,总体均值的置信区间:基于 t 分布的公式 X̄ ± t·S/√n,自由度 n-1,以及与 Z 的关系。

• 统计学:比例的置信区间

  总体比例的置信区间:基于 p̂ = X/n 的 Z 公式,使用条件 (np̂ ≥ 5),完整的工作示例。

• 统计学:两个均值之差的置信区间

  两个独立样本均值差 μ₁-μ₂ 的置信区间:t 公式,合并自由度,以及通过零是否在区间内来判断差异是否显著。

• 统计学:两个比例之差的置信区间

  两个总体比例之差 p₁-p₂ 的置信区间:Z 公式,样本比例的标准误,以及完整的工作示例(60/100 与 50/100)。

• 统计学:方差的置信区间

  总体方差的置信区间:基于 χ² 分布(卡方分布)的公式 (n-1)S²/χ²,为什么区间是非对称的,以及自由度 df=n-1。

• 统计学:零假设 H₀ 与备择假设 H₁ 的设定

  假设检验中 H₀ 与 H₁ 的设定:H₀ 表示无变化无差异,H₁ 表示研究者想证明的内容(单尾或双尾)。

• 统计学:第一类错误与第二类错误

  假设检验中的两类错误:第一类错误(α,假阳性,错误拒绝 H₀);第二类错误(β,假阴性,未能拒绝错误的 H₀)及决策表。

• 统计学:什么是 P 值?

  P 值在假设检验中的含义:在 H₀ 为真时观察到此结果或更极端结果的概率,以及基于 P < α 的决策规则。

• 统计学:均值的假设检验 - 方差已知

  总体均值的 Z 检验(方差已知):Z 统计量公式 (X̄-μ)/(σ/√n),标准正态分布,以及完整的工作示例。

• 统计学:均值的假设检验 - 方差未知

  总体均值的 t 检验(方差未知):统计量 t = (X̄-μ)/(S/√n),学生 t 分布,自由度 n-1,以及与 Z 检验的区别。

• 统计学:两均值差的假设检验 - 独立样本

  两个独立样本均值差的假设检验:t 统计量 (X̄₁-X̄₂)/√(S₁²/n₁+S₂²/n₂),双尾或单尾,以及独立样本的含义。

• 统计学:均值差的假设检验 - 配对样本

  配对(相依)样本均值差的假设检验:计算差值,配对 t 统计量,自由度 n-1,以及配对设计减小方差的优势。

• 统计学:比例的假设检验

  总体比例的假设检验:Z 统计量公式(在分母中使用 H₀ 的 p₀ 而非 p̂),双尾或单尾,以及 np₀≥5 的使用条件。

• 统计学:单个方差的假设检验

  单个总体方差的假设检验:卡方统计量 (n-1)S²/σ₀²,自由度 n-1,以及卡方分布非对称、恒正的特性。

• 统计学:两方差之比的假设检验

  两个总体方差之比的假设检验:F 统计量 S₁²/S₂²(大方差置于分子使 F>1),以及 F 分布的两个自由度。

• 统计学:单尾检验与双尾检验

  假设检验中的单尾与双尾:双尾每侧 α/2,单尾(左/右)一侧 α,以及如何根据研究问题选择检验方向。

• 统计学:检验功效

  检验功效 = 1-β,即当 H₀ 为假时正确拒绝它的概率。功效受样本量、显著性水平、效应量和方差影响,通常目标至少 80%。

• 统计学:什么是随机变量 - 完整解释与示例

  随机变量是将随机试验结果映射为实数的函数。本文用骰子、硬币等日常示例解释定义,并区分离散与连续随机变量。

• 统计学:随机变量的期望与方差

  随机变量的期望 E(X) 是加权平均,方差 Var(X) 衡量离散程度。含详细示例及线性变换 Y=aX+b 的规则。

• 统计学:二项分布 - 何时及如何使用

  二项分布回答 n 次试验中有多少次成功。需满足四个条件,期望 E(X)=np,方差 Var(X)=np(1-p)。

• 统计学:何时使用非参数检验 - 完整指南

  当数据不服从正态分布、为顺序尺度或样本很小时,使用非参数检验。含参数与非参数对照表及优缺点。

• 统计学:卡方拟合优度检验 - 完整解释与示例

  卡方拟合优度检验判断数据是否服从某分布,公式 χ²=Σ(O-E)²/E。含掷骰子示例、自由度与临界值的完整计算。

• 宏观经济学:凯恩斯收入乘数 - 完整解释与示例

  凯恩斯收入乘数 k=1/(1-b) 说明政府支出如何成倍放大国民收入。含逐轮支出示例及支出、税收、平衡预算乘数的对比。

• 宏观经济学:紧缩缺口与通胀缺口 - 完整解释

  紧缩缺口指需求低于潜在产出导致失业,通胀缺口则相反。本文说明如何用乘数计算并通过财政政策弥合缺口。

• 统计学:集中趋势 - 平均数、中位数与众数

  集中趋势用一个数代表全部数据:平均数、中位数与众数。本文用工资示例说明极端值的影响及每种度量的适用场景。

• 统计学:离散程度 - 极差、方差与标准差

  离散程度度量数据偏离平均数的程度:极差、方差与标准差。本文含公式、为何样本除以 n-1,以及 Z 分数的解释。

• 宏观经济学:GDP 基础概念 - 简明解释

  国内生产总值(GDP)是一国一年内生产的全部商品与服务的价值。本文解释增加值、GDP 与 GNP 的区别及支出法公式。

• 统计学:方差的假设检验 - 卡方与 F 检验

  方差的假设检验:用卡方检验单个方差,用 F 检验比较两个方差。本文含公式、自由度、临界值及完整示例。

• 统计学:标准分(Z)- 含义、计算与比较

  标准分(Z)衡量某个值离平均数有多少个标准差。本文用完整示例讲解 Z 的计算、正负含义,以及如何跨不同组别比较成绩。

• 统计学:正态分布的四种题型 - 识别与解法

  正态分布题分四种:由值求概率、求区间概率、反向求值、跨组比较。本文逐一讲解识别方法、解题步骤与完整示例。

• 统计学:查 Z 表的常见错误

  查 Z 表时的三大常见错误:误算单点概率、忘记 1 的互补、未利用对称性。本文逐一说明并给出正确做法。

• 统计学:正态分布文字题的解题步骤

  正态分布文字题的四步解法:识别分布、转换为标准分、解读分数、连接到概率。本文配完整示例与文字解读。

• 统计学:68-95-99.7 经验法则 - 正确用法与局限

  68-95-99.7 经验法则可快速近似正态分布。本文说明何时可用此法则、何时必须改用 Z 表来获得精确概率。

• Privacy Policy

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• 统计学:线性变换 - 平均数与标准差

  对全体数据做 y = a + bx 的线性变换:均值与中位数受 a 与 b 影响,但标准差与方差只受 |b| 与 b² 影响,a 不改变离散度!

• OpenBook 推广动画

  OpenBook 推广动画:不再翻 40 个视频,智能诊断指出你错在哪里,生成只看 8 个的个性化学习路径。

• OpenBook 自适应学习系统:个性化数学学习路径

  OpenBook 自适应学习系统:识别 7 类错误模式,自动构建个性化学习路径,把 40 个视频缩减为真正需要的几个,节省 80% 时间。

• 解析几何:坐标系简介

  坐标系基础:x 轴与 y 轴在原点 O 相交,把平面分成四个象限,任意一点由有序对 (x, y) 表示。

• 解析几何:与坐标轴平行的直线

  与坐标轴平行的两类特殊直线:水平线 y=c(斜率为 0)与垂直线 x=c(斜率未定义);区分零斜率与未定义斜率。

• Linear Equations — Solve ax + b = c

  Practice solving linear equations step by step.

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• 累积函数 GeoGebra 活动

  通过 GeoGebra 互动活动,直观探索函数的累积函数。即使被积函数不一定为正值,也能理解定积分的几何意义和面积累积过程。

• 积分 - 面积累积函数及其性质

  GeoGebra 互动工作表:移动 x 值,实时观察累积函数如何随之变化。通过四种不同函数,深入理解面积累积的几何性质与积分概念。

• 复数加法(GeoGebra 活动)

  通过 GeoGebra 软件直观演示复数加法运算:实部与虚部分别相加,并用平行四边形法则展示其在复平面上的几何意义,加深复数理解。

• 复数乘以 i

  通过 GeoGebra 互动活动理解复数乘以 i 的几何意义:复数乘以 i 后,在复平面上将逆时针旋转 90 度。直观展示两个复数之间的夹角。

• 复数 - 复数的乘法

  通过 GeoGebra 互动活动演示三个复数之间的乘法关系:第三个复数由前两个复数相乘得到,直观展示模长相乘、辐角相加的几何性质。

• 复数 - 单位根

  通过 GeoGebra 互动活动探索复数方程 z^n=1 的单位根:可拖动滑块改变 n 值,观察解在复平面单位圆上均匀分布的规律。

• 复数 - 复数的方根

  通过 GeoGebra 互动活动探索方程 z^n=w 的方根:拖动滑块改变 n 与复数 w,直观观察方根在复平面上的分布与对称性。

• 复数中的几何轨迹

  通过 GeoGebra 文件探索复平面中的几何轨迹:研究 |z-z_1|=R 与 |z-z_1|=m|z-z_2| 等不同条件下解集所形成的图形。

• 复数问题的可视化解答

  通过 GeoGebra 互动活动可视化证明:若三个单位圆上的复数之和为零,则它们的平方和也必为零,直观理解这一优美的复数性质。

• 复数 - 复数加法

  通过 GeoGebra 互动活动探索复数加法 Q = Z + W:拖动 Z 或 W 实时观察和的变化,并用滑块直观展示加法的几何意义。

• 两个复数的乘法

  通过 GeoGebra 互动活动探索两个复数的乘法 Q = WZ:拖动 Z 或 W,实时观察乘积的变化与几何意义,理解辐角相加。

• 复数详解

  完整的复数学习指南:涵盖复数定义、复平面表示、加减乘运算、极坐标形式、棣莫弗定理与复数 n 次方根公式,系统帮助掌握复数。

• 向量求和

  通过 GeoGebra 活动探索向量求和:给定向量 u、v 与点 M、N,直观演示向量平移、求和及平行四边形法则的几何意义。

• 向量 - 数量积

  通过 GeoGebra 活动学习向量数量积:观察两向量 u、v 的点积及投影含义,直观理解模长、夹角余弦与代数表达的关系。

• 三角形中线 - 向量

  通过 GeoGebra 活动探究三角形中线的向量性质:调整参数 m 与 t,研究何时 GH 平行于 BC、何时 G 与 H 重合并证明。

• 空间中的点 - 向量(GeoGebra 活动)

  通过 GeoGebra 活动探索空间中的点与向量:拖动点 A、B、C 改变向量 P 的代数分量,直观观察空间向量的变化规律。

• 平面内直线的参数方程

  通过 GeoGebra 活动学习平面内直线的参数方程:给定向量 OA 与 OB,改变参数 t,直观观察直线 OP=OA+tAB 的变化。

• 空间三角学 - 构造三角形底面的直角棱锥

  通过 GeoGebra 互动活动学习空间三角学:构造以三角形为底面的直棱锥,自由拖动底面顶点,实时观察三棱锥的立体结构与变化。

• 空间三角学 - 底面为直角三角形的直棱锥

  通过 GeoGebra 互动活动学习空间三角学:右侧拖动直角三角形顶点,左侧实时观察以该三角形为底面的直棱锥的立体变化。

• 空间三角学 - 棱锥与棱柱

  通过 GeoGebra 互动活动学习空间三角学:在左侧选择底面边数 n,右侧将实时显示对应底面边数的棱锥与棱柱立体形态变化。

• 直线与平面所成的角

  通过 GeoGebra 互动活动探究直线与平面所成的角:拖动顶点观察直线 BC 与所在灰色平面之间夹角的实时变化与几何意义。

• 两平面所成的角

  通过 GeoGebra 互动活动探索两个平面之间的二面角:拖动点 A 改变平面位置,直观观察平面夹角的变化与立体几何性质。

• 空间三角学 - 长方体中的角识别

  通过 GeoGebra 互动活动探究长方体内的夹角 IJB:拖动点 I、J 观察夹角变化,寻找直角条件,并思考立方体情形。

• 两平面互相垂直 - 两直线也一定垂直吗?

  通过 GeoGebra 探究等腰三角形棱柱中的垂直关系:M 为 B&#39;C&#39; 中点,N 任意点,判断 A&#39;N 与 BN 何时垂直。

• 平行线与截线所成的角 - 动态工作表

  通过动态工作表与 GeoGebra 应用,探索平行线与截线所成角的定理:比较两组直线生成的角度,发现平行情形下的特殊性质。

• 极值问题 - 矩形周长

  通过 GeoGebra 互动活动研究矩形周长函数的变化:拖动滑块 Xa 改变点 A 的位置,直观观察周长函数的极值规律。

• 极值问题 - 面积之和

  通过 GeoGebra 互动活动求解极值问题:寻找 CE 的长度,使正方形与三角形的面积之和达到最大值,深入理解最优化方法。

• 极值问题 - 围建面积最大的动物角

  经典极值问题:用 6 米长的网状围栏紧靠墙壁围出矩形动物角,三边围栏围成最大面积。通过 GeoGebra 互动探索最优解。

• 圆周角 GeoGebra 活动

  通过 GeoGebra 互动活动探索圆周角的几何性质:动态观察圆内角度的变化关系,直观理解同一弧所对的圆周角相等等定理。

• 同弧所对的圆周角与圆心角

  通过 GeoGebra 互动活动探究同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系:直观验证圆心角等于同弧所对圆周角两倍这一经典定理。

• 圆心角

  通过 GeoGebra 互动活动探索圆心角的几何性质:动态拖动观察圆心角的变化,直观理解圆心角与所对弧及圆周角之间的对应关系。

• 三角函数在单位圆上的表示

  通过 GeoGebra 互动活动学习三角函数在单位圆上的表示:直观观察正弦、余弦、正切函数的几何意义、符号变化与周期性规律。

• 抛物线的切线

  完整的抛物线切线学习指南:已知点或斜率求 y²=2px 抛物线的切线方程,涵盖切点法、斜率判别式法、由切线反推切点及完整例题解析。

• 抛物线、切线与法线

  完整的抛物线切线与法线学习指南:针对 y²=2px 标准型抛物线,详解切点公式、隐函数求导、法线斜率公式与完整例题分步解答。

• 抛物线、切线与法线

  通过 GeoGebra 互动活动探索抛物线 y²=2px 的切线与法线:拖动抛物线上的点,直观观察切线与法线的实时变化关系。

• GeoGebra 学生活动 – 抛物线、切线、法线与焦点

  学生探究活动:通过 GeoGebra 拖动抛物线上的动点,深入研究切线、法线、焦点之间的关系,理解光线在抛物线上的反射性质规律。

• 探究活动:抛物线中的切线、法线与焦点

  完整的探究活动:在 GeoGebra 中拖动抛物线上的动点,系统研究切线、法线与焦点的关系,记录数据并发现抛物线的反射性质。

• 探究活动:椭圆、焦点、切线、法线与反射性质

  深入探究椭圆性质:通过 GeoGebra 系统研究椭圆的两个焦点、向径定义、切线方程、法线及光学反射定理,记录数据并发现规律。

• ⭐ 详解:椭圆作为几何轨迹

  椭圆作为几何轨迹的完整深度解析:平面上到两个定点距离之和恒为常数的所有点构成的集合,涵盖椭圆定义、标准方程及主要几何性质。

• 探究:函数与其导数的关系

  通过 GeoGebra 互动探究函数与其导数图像之间的奇妙关系:从函数的图像形态直接判断导数的符号、零点位置以及极值点的所在区间。

• 探究:凹凸性与拐点

  通过 GeoGebra 互动探究函数的凹凸性与拐点:理解二阶导数 f'' 与图像凹凸方向的关系,以及拐点的必要与充分条件。

• 什么是函数?基础概念

  完整的函数基础学习指南:全面涵盖函数的定义、垂直线测试、定义域与值域、函数值的计算方法、读图技巧以及考试常见题型解题方法。

• 斜率与切线 - 导数的几何意义

  完整的导数几何意义学习指南:涵盖斜率定义、切线与割线区别、切线方程公式 y-y₀=f'(x₀)(x-x₀) 与详细例题解析。

• 求导法则 - 多项式函数

  完整的多项式求导法则学习指南:全面涵盖常数法则、幂函数法则、和差法则、二阶导数计算以及常见错误的辨析,快速掌握多项式求导。

• 函数研究 - 单调性与极值点

  完整的函数研究学习指南:利用导数判断函数的单调性、求出极值点、运用一阶或二阶导数法分类极大值与极小值,涵盖详细例题解析。

• 对称性 - 偶函数与奇函数

  完整的函数对称性学习指南:全面涵盖偶函数与奇函数的代数定义、几何图像意义、判断步骤、常见函数分类以及考试技巧的详细解析。

• 凹凸性与拐点

  完整的凹凸性与拐点学习指南:全面涵盖利用二阶导数判断函数图像的凹凸方向、拐点的必要与充分条件、详细例题以及考试技巧解析。

• 有理函数的定义域

  完整的有理函数定义域学习指南:全面涵盖有理函数的定义、分母不为零的核心规则、详细例题、不同写法以及考试中常见错误的辨析。

• 垂直渐近线与可去间断点

  完整的垂直渐近线与可去间断点学习指南:全面涵盖两者的区别、判断方法、详细例题、单侧极限计算以及考试中常见技巧的全面解析。

• 水平渐近线

  完整的水平渐近线学习指南:全面涵盖通过比较分子与分母的次数判断水平渐近线、详细例题、计算极限的实用技巧以及考试常见提示。

• 商的导数 - 商法则

  完整的商法则学习指南:全面涵盖商法则公式、记忆口诀、详细例题、常数分子的特殊情形、实用导数表与考试中常见错误的全面解析。

• 函数图像与导数图像之间的关系

  完整的函数与导数图像关系学习指南:全面涵盖如何从 f 与 f' 图像互相读取信息,理解 f'' 与凹凸性、极值、拐点的全部关系。

• 概率 - 基本概念

  完整的概率基本概念学习指南:全面涵盖样本空间、事件、概率公式、互补事件、互斥事件、概率树及多种考试中常见题型的详细解析。

• 概率树

  完整的概率树学习指南:全面涵盖概率树的基本结构、乘法与加法规则、有放回与无放回的本质区别、详细例题及考试常见题型的解析。

• 概率 - 高级主题:条件概率、独立性与二项分布

  完整的高级概率学习指南:全面涵盖概率表、条件概率、独立与互斥事件的对比、二项分布的公式、期望值与方差以及考试常见题型解析。

• Probability Table

  Learn to build and use a probability table. Covers conditional probability, independence testing, and worked examples with counts and proportions.

• 等差数列 - 通项、求公差与位置

  完整的等差数列学习指南:通项公式、求公差、求项数与首项的方法、判断一个数是否属于数列,以及考试中常见题型的详细解析与方法。

• 等比数列 - 通项、求公比与位置

  完整的等比数列学习指南:通项公式、求公比、求项数与首项的方法、判断一个数是否属于数列,以及考试中常见题型的详细解析与方法。

• 对数 - 法则与公式

  完整的对数学习指南:全面涵盖对数的定义、定义域、运算法则(乘法、除法、幂)、重要恒等式、换底公式以及指数增长与衰减的应用。

• 指数函数与指数方程 - 性质与解法

  完整的指数函数与方程学习指南:函数定义、图像与性质、三种解方程方法(同底、对数、换元),以及指数不等式与考试常见题型解析。

• 不定积分 - 基本概念与公式

  完整的不定积分学习指南:反导数定义、积分常数 C、基本积分公式、运算法则,以及通过初始条件求 C 的详细解析与解题方法。

• 定积分 - 牛顿-莱布尼茨公式与面积

  完整的定积分学习指南:牛顿-莱布尼茨公式、几何意义、计算曲线下面积、两曲线之间的面积、定积分性质和常见错误的详细解析方法。

• 换元积分法 - 链式法则的逆运算

  完整的换元积分法学习指南:核心思想、五步解题流程、线性表达式快速公式,以及五个详细例题(幂、根号、指数、对数和定积分)的解析。

• 面积累积函数 - 微积分基本定理

  完整的面积累积函数学习指南:微积分基本定理、可变上下限的求导规则、详细例题、求极值方法以及常见考试题型与技巧的全面解析。

• 多项式除法的积分 - 长除法与霍纳法

  完整的多项式除法积分学习指南:长除法、霍纳法、特殊情况、五个详细例题以及高考常见考试题型与解题技巧的全面深入解析与说明。

• 三角函数的积分 - 完整公式表

  完整的三角函数积分学习指南:基本公式、二倍角公式、换元积分、八个详细例题以及高考常见考试题型与多种解题技巧的全面深入解析。

• 复数 第一部分 - 定义与基本运算

  完整的复数学习指南第一部分:虚数单位 i 的定义、i 的幂的周期性、复数运算(加减乘除)以及共轭复数的全面深入解析方法。

• 复数 第二部分 - 模与复平面

  完整的复数学习指南第二部分:复平面、模(绝对值)、几何意义、距离公式、复平面上的圆与不等式以及共轭复数的多种性质详细解析。

• 复数 第三部分 - 二次方程与因式分解

  完整的复数学习指南第三部分:负数开方、判别式为负的二次方程、共轭根、韦达定理以及多项式因式分解的全面深入解析与详细例题。

• 复数 第四部分 - 极坐标(三角)形式

  完整的复数学习指南第四部分:极坐标(三角)形式、模与辐角、笛卡尔与极坐标互转、特殊角度表以及四象限分析的全面深入解析方法。

• 复数 第五部分 - 棣莫弗公式

  完整的复数学习指南第五部分:极坐标乘除法、棣莫弗公式、复数的幂与根、单位根的全面深入解析方法以及五个详细解题例题与考试技巧。

• 几何向量 第一部分 - 引言与定义

  完整的几何向量学习指南第一部分:向量与标量的区别、向量的表示与长度、零向量、相反向量、单位向量与平行向量的全面深入解析方法。

• 几何向量 第二部分 - 加法、减法与数乘

  完整的几何向量学习指南第二部分:三角形法则、平行四边形法则、多边形法则、向量减法、数乘以及向量运算性质的全面深入解析方法。

• 几何向量 第三部分 - 坐标系中的向量

  完整的几何向量学习指南第三部分:位置向量、分量表示、向量加减、长度计算、两点间距离、单位向量与平行判别的全面深入解析方法。

• 几何向量 第四部分 - 数量积

  完整的几何向量学习指南第四部分:数量积代数与几何定义、性质、向量垂直判别、夹角公式、向量投影计算方法的全面深入解析方法。

• 几何向量 第五部分 - 应用

  完整的几何向量学习指南第五部分:中点公式、线段定比分点、三角形重心以及用向量进行几何证明的全面深入解析方法与丰富的例题习题。

• 代数向量 第一部分 - 定义与基本运算

  完整的代数向量学习指南第一部分:三维空间坐标系、向量分量表示、加减法、数乘、向量长度、空间两点距离与单位向量的全面深入解析。

• 代数向量 第二部分 - 数量积与向量积

  完整的代数向量学习指南第二部分:数量积、向量积代数与几何定义、性质、向量垂直与平行判别、夹角公式与平行四边形面积全面解析。

• 代数向量 第三部分 - 空间直线与平面

  完整的代数向量学习指南第三部分:空间直线参数方程与对称式方程、平面方程、法向量、三点定平面与点到平面距离公式的全面深入解析。

• 函数图像与导数的关系 - 单调递增与递减

  通过 GeoGebra 交互式工具直观理解函数图像与其导数的关系,以及函数单调递增与递减的几何意义和判别方法,适合高考备考。

• 函数与导数性质的动态交互式应用

  通过 GeoGebra 交互式动态工具探索函数与其导数的关系:平移变换、单调递增递减、上凹与下凹等几何性质的深入解析方法。

• 识别函数图像 - f, f', f'' 是哪一个?

  通过 GeoGebra 互动练习识别函数、一阶导数与二阶导数的图像,深入理解三者的几何关系与凹凸性、单调性的判别方法和技巧。

• 导数函数作为切线斜率的变化 - 动态应用

  通过 GeoGebra 动态应用研究函数的单调性、极大值与极小值、拐点以及函数在各点的切线行为的几何关系与图形深入分析方法。

• 数学归纳法 - 原理、结构与意义

  深入学习数学归纳法的原理、三个证明步骤的应用、教学意义,以及如何避免常见错误。包括多米诺骨牌类比与丰富例题的深入分析和实践。

• 数学归纳法 - 教学要点与理念理解

  深入理解数学归纳法的教学要点:经验验证与证明的区别、基础与归纳步骤的独立性、归纳假设的含义和标准的证明结构等核心概念分析。

• 代数技巧 - 第一部分:运算顺序

  深入学习四则混合运算的优先顺序:括号、幂运算、乘除法、加减法,以及嵌套括号、分数线和常见错误的处理与解决方法的实用技巧。

• 代数技巧 - 第二部分:什么是方程?

  深入学习方程的基本概念:定义、左右两边、未知数、方程的解,以及天平平衡原理与一元一次方程、一元二次方程的解题方法和技巧。

• 代数技巧 - 第三部分:求未知数(除以系数)

  深入学习如何通过除以系数来求解未知数:正系数、负系数、分数系数与分数解的多种处理方法,以及详细的例题解析与实用考试技巧。

• 代数技巧 - 第四部分:去括号(分配律)

  深入学习分配律 a(b+c)=ab+ac:去括号、负号变号规则、括号相乘以及完全平方与平方差等乘法公式的应用方法和技巧。

• 代数技巧 - 第五部分:合并同类项与移项

  深入学习合并同类项与移项法则:同类项的识别方法、移项时的变号原则,以及综合解方程的标准步骤和详细例题解析的应用方法和技巧。

• 代数技巧 - 第六部分:代数式求值(代入法)

  深入学习代数式求值的代入法:正数与负数的代入、含两个变量的表达式求值,以及验证解、函数值与生活公式的实际应用方法和技巧。

• 代数技巧 - 第七部分:因式分解(提公因式)

  深入学习因式分解的提公因式法:公因式的识别、最大公约数的计算与含变量的公因式提取,以及详细的例题解析方法和检验应用技巧。

• 代数技巧 - 第八部分:二元一次方程组

  深入学习二元一次方程组的两种主要解法:代入消元法与加减消元法的详细例题解析,以及实用的方法选择技巧和实际验证的应用方法。

• 代数技巧 - 第九部分:一元二次方程(求根公式)

  深入学习一元二次方程的求根公式与判别式:三种判别式情况、多种求解方法以及韦达定理(根与系数关系)的详细应用方法和详细例题。

• 代数技巧 - 第十部分:百分数

  深入学习百分数的概念与应用:百分数与分数、小数的互化、百分数计算、求百分比、增加与折扣以及实用百分数对照表的方法和技巧。

• 代数技巧 - 第十一部分:比例

  深入学习比与比例的概念与应用:等比变化、按比例分配、交叉相乘解比例、正比例与反比例的区别和实际应用题的详细解题方法与技巧。

• 数学归纳法 - 有限和的证明实例

  深入学习用数学归纳法证明有限和公式的完整实例:自然数求和、平方和、累积求和及几何级数有限和的逐步详细证明方法和应用技巧。

• 无穷级数 - 收敛的几何级数

  深入学习收敛的无穷几何级数:精确定义、直观解释、收敛条件|r|<1、求和公式以及与极限和数学归纳法之间的关系和应用方法。

• 数学归纳法 - 常见错误与正确证明

  深入学习数学归纳法的常见错误:仅检验几个值、跳过基础步骤、混淆假设以及著名的伪证明,以及如何识别正确的归纳证明方法和技巧。

• 数学归纳法 - 可视化证明

  深入学习数学归纳法的可视化证明:多米诺链结构、自然数求和的几何演示、三角形分割与教学实践的图形化方法以及详细的应用技巧。

• 数学归纳法 - 练习题与完整解答

  深入学习数学归纳法的练习题与完整解答:基本不等式、奇数求和、平方和、几何级数收敛及识别错误证明等渐进式练习与详细解题方法。

• 数学归纳法 - 探究问题与深度思考

  深入探索数学归纳法的开放式探究问题:基础步骤的本质、归纳假设的逻辑、几何应用以及创造性思维方法的全面引导与详细深入分析。

• 数学归纳法 - 深度探究思维导图

  深入探索数学归纳法的可视化思维导图:基础步骤、归纳步骤、结论、归纳假设以及归纳法失败的情境的全面深入分析与详细教学方法。

• 数学归纳法 - 基础与中等难度练习

  深入学习数学归纳法的20道分级练习题:10道基础题强化基本技能,10道中等题加深理解、灵活性以及代数思维能力的解题方法。

• 数学归纳法 - 基础练习的完整解答

  深入学习数学归纳法的10道基础题的完整解答:自然数求和、平方和、不等式、阶乘、递推数列以及整除性证明的详细步骤与详细方法。

• 数学归纳法 - 中等练习的完整解答

  深入学习数学归纳法的10道中等练习的完整解答:立方和、阶乘不等式、递推数列、伸缩级数、卡西尼恒等式与详细的证明步骤方法。

• 代数技巧 - 因式分解综合方法

  深入学习代数因式分解的5种方法:提取公因式、简短公式、三项式分解、带系数的三项式以及分组分解的详细技巧和详细的教学方法。

• 代数技巧 - 代数分式

  深入学习代数分式的所有运算:定义域、化简、乘除、加减以及复分式的详细方法、解题步骤、典型例题、详细解析与代数教学的技巧。

• 代数技巧 - 双二次方程

  深入学习双二次方程的完整解法:换元法、求解四次方程、四个详细的典型示例、解的数量分析以及高考考试技巧的详细教学指南方法。

• 代数技巧 - 分母含未知数的方程

  深入学习分母含未知数方程的完整解法:定义域、公分母、五个详细的解题步骤、增根检验以及典型例题的详细完整教学指导方法步骤。

• 代数技巧 - 无理方程(根式方程)

  深入学习无理方程(根式方程)的完整解法:定义域、平方法、五个详细典型解题示例、增根检验以及详细全面的教学技巧的方法步骤。

• 数学归纳法证明中的常见错误

  深入分析数学归纳法证明中9个最常见的学生错误:跳过基础步骤、循环论证、错误使用归纳假设以及教师如何引导学生纠正这些错误。

• 数学归纳法证明中的常见错误 2

  深度分析数学归纳法证明中七个最常见的学生错误:跳过基础、循环论证、错误使用归纳假设以及教师的纠正策略与具体教学的建议法。

• 数学归纳法证明的完美书写模板

  深入学习数学归纳法证明的完美书写模板:五个标准步骤、规范用语、教学指导以及每一个步骤的详细完整说明与详细的教学要点方法。

• 向量 - 引论与基本性质

  深入学习向量的引论与基本性质:几何定义、加法、标量乘法、减法运算以及向量空间的全部公理和具体的完整的教学要点的指导方法。

• 线性相关性与表示的唯一性

  深入学习向量的线性相关性与表示的唯一性:线性组合、线性独立性、空间的张成、几何上的表示以及一些重要的具体的几何应用方法。

• 向量的点积(数量积)

  深入学习向量的点积(数量积):定义、几何意义、计算角度与长度、投影以及在几何证明中具体重要的实用应用的详细具体方法步骤。

• 向量的代数表示及其应用

  深入学习向量的代数表示及其应用:三维坐标系、直线和平面的参数方程、距离和角度公式以及解析几何中详细具体的实用的应用方法。

• 立体几何中的应用

  深入学习立体几何中的实际应用:空间几何体、角度、长度、面积和体积的计算以及向量在几何学中具体的详细的实用应用的方法步骤。

• 抛物线 - 综合总结

  深入学习抛物线的全面综合总结:几何定义、标准方程、对称性、切线、相对位置以及光学性质和具体详细的实际应用的具体方法步骤。

• 椭圆 - 综合总结

  深入学习椭圆的全面综合总结:几何定义、标准方程、对称性、焦点、相对位置以及几何轨迹问题的具体详细的实用的具体应用的方法。

• 双曲线 - 完整可视化讲解

  深入学习双曲线的完整可视化讲解:几何定义、标准方程、渐近线、对称性、相对位置以及详细几何轨迹问题的具体的实用应用的方法。

• 双曲线 - 入门介绍

  深入学习双曲线入门:几何定义、参数 a, b, c、标准方程、渐近线、与椭圆的对比以及具体的详细的具体实用应用方法步骤。

• 双曲线 2 - 参数和公式

  深入学习双曲线的参数和公式:a, b, c 之间的关系、离心率、渐近线、等轴双曲线、通径、焦半径以及详细具体的实用应用。

• 双曲线 3 - 建立方程

  深入学习从已知条件建立双曲线方程的六种方法:焦点和顶点、离心率、渐近线、点和距离差的具体的详细的实用应用方法以及步骤等等。

• 双曲线 4 - 直线与双曲线

  深入学习直线与双曲线的位置关系:相交、相切、相离的判别式条件、切线方程公式、平行渐近线的特殊情况以及详细的应用方法步骤等。

• 双曲线 5 - 高级专题

  深入学习双曲线的高级专题:共轭双曲线、点的位置判断、光学反射性质、弦及其中点、平移双曲线、所有重要公式的详细的总结及等等。

• 双曲线基础练习

  双曲线基础练习题:从方程识别参数、绘制双曲线、从数据建立方程、求渐近线、自主练习题的详细的解答方法以及完整正确的答案等等。

• 双曲线进阶练习

  双曲线进阶练习题:直线与双曲线相交、切线方程、焦半径计算、共轭双曲线、综合性高考风格的详细的题目解答以及完整正确的答案等等。

• 统计学导论:总体与样本、变量与数据

  统计学第一课:学习总体与样本的区别、统计变量、定性变量与定量变量、离散变量与连续变量、统计学的基础术语及重要核心概念等等。

• 统计学:数据分组与频数表

  学习统计学的数据分组方法:频数表、分组频数表、组的真实边界、组中值、组距及构建分组表的详细的实用规则、应用方法等等内容。

• 统计学:频数及其各种类型

  学习统计学的四种频数类型:绝对频数(f)、相对频数(f/n)、累积频数(F)、累积相对频数(F/n)的详细的分析及实例。

• 统计学:统计图表的各种类型

  学习统计学中的五种图表类型:条形图、直方图、饼图、频数折线图、累积频数曲线的详细特征、使用场景、构建方法以及考试技巧等等。

• 统计学:均值 - 集中趋势量度

  学习统计学中的均值与集中趋势量度:算术平均、加权平均、分组数据的均值、均值的重要性质以及实际应用的例子的详细的解析等等。

• 统计学:中位数与众数 - 集中趋势量度

  学习统计学中的中位数与众数:奇偶的情况、频数表中的中位数、分组数据的中位数公式、与均值的详细比较以及实际应用的例子等等。

• 统计学:离散程度量度 - 极差、方差、标准差

  学习统计学中的离散程度的量度:极差、与均值的偏差、方差、标准差的详细公式、计算方法、各种性质以及实际应用的例子等等内容。

• 统计学:百分位数与四分位数

  学习统计学中的百分位数和四分位数:Q1、Q2、Q3 的计算方法、四分位距 IQR 的应用以及识别异常值的方法和实际计算例子。

• 统计学:综合练习页 - 集中趋势、离散与四分位数

  统计学综合练习页:包含基础概念、频数表、中位数与众数、分组数据、方差、标准差、四分位数等练习题目和详细解答以及示例的详细应用。

• 组合数学:基本计数原理 - 乘法、加法、补集原理

  学习组合数学中的基本计数原理:乘法原理、加法原理、补集原理以及树形图的详细应用方法和详细实际例子的详细解答和说明内容等。

• 组合数学:阶乘与排列 - 基本性质与计算应用

  学习组合数学中的阶乘和排列:阶乘的定义和性质、排列的公式以及循环排列和重复排列等不同情况的详细应用例子和说明等的内容等。

• 组合数学:部分排列 - 公式、特殊情况与组合对比

  学习组合数学中的部分排列(选取与排序):P(n,k) 公式的详细推导、特殊情况以及与组合的区别和实际应用例子的详细说明等。

• 组合数学:组合 - 公式、性质、帕斯卡三角与应用例子

  学习组合数学中的组合:C(n,k) 公式的推导、对称性等基本性质、帕斯卡三角形以及组合的详细实际应用例子和详细说明等等。

• 组合数学:可重复组合与高级问题 - 球与隔板法

  学习组合数学中的可重复组合和高级问题:球与隔板法、最小条件、分组以及方程整数解的详细计算等的详细应用例子和详细说明内容等。

• 组合数学:牛顿二项式定理 - 公式、展开与系数应用

  学习组合数学中的牛顿二项式定理:展开公式、通项的求法、特定系数的计算以及二项式相关重要恒等式等的详细应用例子和内容说明等。

• 统计关联与名义变量相关性度量 - 卡方、皮、克拉默、λ

  学习统计关联与名义变量相关性度量的全面详细内容:列联表、卡方、皮、克拉默 V、λ拉姆达等度量法的详细应用例子和详细说明等。

• 斯皮尔曼相关系数 - 序数变量的相关性度量

  学习斯皮尔曼相关系数:专门用于序数变量的单调关联度量公式、排名计算的详细应用例子和与皮尔逊系数的详细对比详细说明等内容。

• 区间变量相关性度量 - Eta 系数与皮尔逊相关系数

  学习区间变量相关性度量的全面详细内容:Eta 系数与皮尔逊相关系数的公式、线性与非线性关联、决定系数详细应用例子等内容。

• 等差数列基础 - 数列规律与公差 d

  学习等差数列的基础知识:数列的规律、公差 d 的计算、通项公式 a_n=a_1+(n-1)d 与详细的应用例子和详细内容。

• 等差数列求和 - S_n 公式与详细应用

  学习等差数列求和公式 S_n=(a_1+a_n)·n/2 的详细应用、求和的不同方法、求和题型和详细全面应用例子等内容。

• 等差数列 - 从求和公式求通项

  学习从求和公式 S_n 推导通项 a_n=S_n-S_(n-1) 的方法、详细的应用例子和识别等差数列的多种方法等的内容。

• 等差数列 - 末项之和、部分求和

  学习计算等差数列末项之和的两种方法:相减 S_n-S_(k-1) 与作为新数列直接计算,带详细的应用例子和详细方法说明。

• 等差数列 - 偶数/奇数位置项之和

  学习等差数列中偶数和奇数位置的项的求和方法、新数列的公差为 2d、与详细的应用例子、详细的求和方法和详细应用说明等内容。

• 幂的运算法则 - 定义、运算与公式

  学习幂的定义、底数与指数的概念、运算顺序和 6 条详细的运算法则、丰富例子和总结表的详细学习内容、详细方法说明等内容学习。

• 根式法则 - 定义、运算与公式

  学习根式的定义、平方根与 n 次方根的概念、运算顺序、5 条根式运算法则、有理化和总结表的详细学习内容、详细方法说明等内容。

• 不等式 - 一元一次、一元二次、且/或

  学习不等式的解法、一元一次和一元二次不等式、且/或两种系统、数轴表示和抛物线的分析、详细学习内容、方法说明等的所有内容。

• 预备分析 - 函数与图象性质

  学习函数的概念、定义域、值域、坐标轴交点、正负区间、增减区间、极值点等图象性质的详细学习内容、详细方法说明等其内容学习。

• 预备分析 - 函数的奇偶性

  学习函数的奇偶性、偶函数和奇函数的定义、判别方法、几何对称性、典型例题、函数运算的性质和详细学习内容、方法、说明等内容。

• 预备分析 - 变换:平移与反射

  学习函数变换的基本知识、垂直平移、水平平移、x 轴反射、y 轴反射、组合变换等几何方法的详细学习内容和详细方法说明等内容。

• 预备分析 - 幂函数与多项式定性分析

  学习幂函数 x 的 n 次方、偶次和奇次幂的对比、多项式的因式分解、根的重数、端点行为等定性分析的方法和详细方法的说明。

• 预备分析 - 绝对值函数

  学习绝对值的定义、绝对值函数 f(x)=|x| 的图象、变换、绝对值方程和不等式的解法、|f(x)|图象等详细学习内容。

• 指数函数 - 定义、性质与图象

  学习指数函数 f(x)=a^x 的定义、性质、单调性、图象、与 1/a 的对称关系、重要值表等的详细学习内容、详细方法说明。

• 指数方程 - 求解方法详解

  学习指数方程的四种求解方法:比较指数法、化为同底数、代换法(隐藏二次方程)、利用对数求解,以及常用幂值表和考试小技巧及示例。

• 指数不等式 - 求解方法详解

  学习指数不等式的求解方法:底数大于1时方向保持,底数小于1时方向反转,以及代换法解隐藏二次不等式,提供例题详细说明和示例。

• 百分比 - 涨价、降价与百分比计算

  学习百分比的概念与计算方法:涨价、降价、查找原价、变化率、连续变化的详细例题说明,以及实用日常生活实例的介绍和注意事项。

• 指数增长与衰减 - 公式介绍与图象理解

  学习指数增长与衰减公式 f(t) = f(0)·q^t,增长/衰减系数,图象特性以及人口增长、贷款利息、汽车贬值等实际例子。

• 指数增长与衰减 - 求解未知量

  学习如何在指数增长与衰减公式 f(t)=f(0)·q^t 中求解四个未知量:f(t)、f(0)、q、t,以及详细的例题说明与实用应用。

• 指数增长与衰减 - 半衰期与倍增时间

  学习指数衰减中的半衰期 t₁/₂ 与指数增长中的倍增时间 t₂,以及实用的 70 法则快速估算方法,放射性物质与人口增长例题。

• 等比数列 - 介绍、通项公式与公比

  学习等比数列的概念、通项公式 a_n=a_1·q^(n-1)、公比 q、递推定义,以及三项构成等比数列的条件 b²=a·c。

• 等比数列 - 前 n 项和公式与推导

  学习等比数列前 n 项和公式 Sn = a₁(qⁿ-1)/(q-1),完整推导过程,多个例题,以及最后一项形式公式与逆向问题求解。

• 等比数列 - 由前 n 项和公式求通项

  学习如何由前 n 项和 Sn 公式求通项 an,关键公式 an=Sn-S(n-1) 仅对 n≥2 成立,a₁=S₁,包含详细例题与特殊情况。

• 等比数列 - 后 k 项之和的求法

  学习等比数列后 k 项之和的三种求法:Sn-Sn-k 差法、新数列法、和的关系 Sk·q^(n-k),包含完整例题对照与方法选择建议。

• 等比数列 - 奇数项与偶数项之和

  学习等比数列中奇数项与偶数项之和的计算方法,以公比 q² 形成新等比数列,完整公式与详细例题(n 为偶数和奇数两种情况)。

• 等比数列 - 无穷等比数列与收敛和

  学习无穷等比数列的收敛条件 |q|<1,求和公式 S=a₁/(1-q),应用于循环小数转分数,以及完整等比数列公式总结表。

• 正态分布 - 标准分数 Z 介绍、公式与意义

  学习标准分数 Z=(x-x̄)/Sx 的定义、计算与意义,衡量数值距离平均值多少个标准差,包含完整例题与逆向公式应用方法。

• 正态分布 - 正态分布介绍与基本性质

  学习正态分布的基本概念与性质:对称钟形曲线、连续型变量、参数 μ 和 σ,以及著名的 68-95-99.7 经验法则与对称性。

• 正态分布 - Z 表与面积计算

  学习如何读 Z 表查找标准正态分布的左侧面积,右侧面积、两个值之间的面积,以及反向从百分比求 Z 值的完整方法与例题应用。

• 正态分布 - 从原始分数到概率的完整流程

  学习从原始分数 x 先计算 Z 再查表得到概率的完整三步流程,包含 4 个完整例题:小于、大于、两者之间与对称区间应用。

• 正态分布 - 逆向问题:从概率到原始分数

  学习正态分布的逆向问题:从概率反推原始分数 x=x̄+Z·S,包含百分位数计算与求未知的平均值或标准差的完整方法与例题。

• 正态分布 - 变换与不对称分布

  学习正态分布的线性变换:加减常数与乘除常数对平均值和标准差的影响,以及不对称分布与中心量(均值、中位数、众数)的位置关系。

• 抽样分布与中心极限定理 - 总体、样本、参数与统计量

  学习抽样分布与中心极限定理的基础:总体与样本的概念、参数与统计量的关键区别,以及统计量作为随机变量所具有的抽样分布意义。

• 样本均值的抽样分布与中心极限定理(CLT)

  学习样本均值的抽样分布与中心极限定理:期望、方差、标准误差的性质,以及无论原分布如何,大样本时其均值都近似服从正态分布。

• 二项分布的正态近似 - 连续性修正

  学习二项分布的正态近似:适用条件 np≥5 与 n(1-p)≥5、近似公式、连续性修正(±0.5)以及样本比例的近似分布。

• 解析几何 - 直线:识别斜率与 b

  学习解析几何中直线的斜率截距式 y=mx+b:从方程和图形中识别斜率 m 与 y 轴截距 b,以及不同斜率符号的几何意义。

• 解析几何 - 斜率公式

  学习两点确定的直线的斜率公式 m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=Δy/Δx:推导、几何意义,以及上升、下降、水平和未定义斜率的分类。

• 解析几何 - 由两点求直线方程

  学习通过两点求直线方程的两步法:先用斜率公式求 m,再代入点的坐标求 b。包括水平直线、垂直直线、负数等特殊情况的处理。

• 解析几何 - 由点和斜率求直线方程

  学习点斜式 y-y₀=m(x-x₀):利用斜率和已知点求直线方程,4 个例子覆盖整数、分数、负坐标和经过原点的特殊情形。

• 解析几何 - 两点间距离公式

  学习两点间距离公式 d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²):基于勾股定理推导,4 个计算例子,常见勾股数,以及点到原点的距离。

• 解析几何 - 坐标轴上和平行线上的距离

  学习两点位于水平线或垂直线上时的简化距离公式 d=|x₂-x₁| 或 d=|y₂-y₁|,包括坐标轴上点的特殊情形与识别方法。

• 解析几何 - 线段中点公式与端点

  学习线段中点公式 M=((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2):取坐标的平均值,以及由中点和一端求另一端的反向公式。

• 解析几何 - 平行线与垂直线

  学习平行线 m₁=m₂ 与垂直线 m₁·m₂=-1 的斜率条件,垂直斜率 -1/m,以及水平垂直线的特殊情形与解题例子。

• 解析几何 - 用解析几何证明四边形性质

  学习用解析几何方法证明四边形性质:介绍平行四边形、矩形、菱形和正方形的不同判定方法,并提供对比常见性质的完整总结表格说明。

• 解析几何 - 解析几何中的梯形与鸢形

  学习用解析几何方法判定梯形、等腰梯形和鸢形:介绍平行条件、邻边相等、对角线性质,并提供完整证明例子与具体判定方法的说明。

• 解析几何 - 圆的方程 - 圆心与半径

  学习圆的方程标准式 (x-a)²+(y-b)²=r²、从方程识别圆心与半径、一般式转标准式与配方法,并提供绘图识别完整例子。

• 解析几何 - 点与圆的位置关系

  学习判断点与圆的位置关系:点在圆内、圆上或圆外的三种情况,通过代入法或距离比较 d<r、d=r、d>r 进行完整的判定。

• 解析几何 - 圆与坐标轴的交点

  学习如何求圆与 x 轴和 y 轴的交点:用代入法解方程,通过判别式判断交点数为 0、1 或 2,以及切线情况完整的说明。

• 解析几何 - 直线与圆的交点

  学习用代入法求直线与圆的交点:判别式判定 0、1、2 个交点(相交/切线/相离),包含三个完整解题例子以及弦长公式说明。

• 解析几何 - 圆的切线方程

  学习圆上一点的切线方程:点切式公式、原点圆特例、垂直法替代解法、水平与垂直切线方程公式,以及两个完整解题例子的详细说明。

• 解析几何 - 两圆位置关系与相切

  学习两圆的五种位置关系:相交、外切、内切、外离、内含,通过比较圆心距与半径和或差的关系,以及求交点的相减消元法详细说明。

• 解析几何 - 三点圆与已知直径圆

  学习过三点求圆方程一般式 x²+y²+Dx+Ey+F=0、已知直径求圆方程,以及直径所对圆周角等于 90° 的圆周角定理。

• 什么是有符号数?定义、数轴、绝对值

  认识有符号数:正数与负数的定义、零的角色、数轴上的方向、绝对值表示距离的概念、相反数 a+(-a)=0,以及负数书写规范。

• 有符号数:比较与排序、大小规则

  学习有符号数的比较与排序规则:数轴上越右越大、所有正数都大于负数、负数中越接近零越大,以及升序与降序两种排列方法的说明。

• 有符号数:加法运算与法则

  学习有符号数加法运算的法则:同号相加保留符号、异号相加改用减法并取较大绝对值的符号,通过数轴可视化与生活实例直观理解掌握。

• 有符号数:减法运算与转化为加法

  学习有符号数减法的黄金规则:a-b = a+(-b),减去一个数等于加上它的相反数。包含减负数变加法、符号转换表与综合练习。

• 有符号数:乘法、符号法则、负数的幂

  学习有符号数乘法的符号法则:同号得正、异号得负、乘零得零,以及负数的偶次幂为正、奇次幂为负,含括号陷阱与多数连乘方法说明。

• 有符号数:除法、符号法则与系列总结

  学习有符号数除法的符号法则:与乘法完全相同、同号得正、异号得负、零不能作除数,以及加减乘除四则运算的综合总结与系统复习。

• 预备分析:从图象读取定义域、值域、交点与符号

  学习如何从函数图象中读取定义域、值域、与坐标轴的交点以及函数的正负符号等基础知识内容,通过例图与对比直观掌握图象分析方法。

• 预备分析:单调性、递增递减与单调区间

  学习如何从函数图象判断单调性:递增、递减、常函数,识别单调区间并用 x 值表示,通过爬山与下滑的直观比喻轻松掌握相关知识。

• 预备分析:极值点、极大值、极小值、局部与全局

  学习函数的极值点:极大值是峰顶、极小值是谷底,区分局部与全局极值,并掌握用坐标(x,y)表示极值点的方法与图象识别技巧。

• 预备分析:垂直渐近线、识别、行为与极限

  学习垂直渐近线:图象无限接近但永不触及的垂直直线,如何从图象识别,理解 y 趋于正负无穷的行为,以及经典示例 y=1/x。

• 预备分析:水平渐近线、无穷远极限与端部行为

  学习水平渐近线:函数在 x 趋于正负无穷时所趋近的水平直线,理解端部行为,识别两侧不同渐近线情况及经典 y=1/x 示例。

• 预备分析:综合图象分析 - 七大工具完整应用

  学习如何从函数图象读取所有信息:定义域、值域、交点、符号、单调性、极值与渐近线,通过完整工作示例熟练掌握七步综合分析法。

• 特殊函数:抛物线 y=x²,顶点、对称、单调性

  学习最基本的二次函数 y=x²:抛物线形状、顶点(0,0)、关于 y 轴对称、值域为非负数,以及左减右增的单调性规律和最小值。

• 特殊函数:抛物线族 - 平移、伸缩与翻转变换

  学习抛物线的变换:上下平移 y=x²+k、左右平移 y=(x-h)²、伸缩 y=ax²、翻转 y=-x²,以及顶点形式 y=a(x-h)²+k 与顶点位置 (h,k)。

• 特殊函数:平方根函数 y=√x、定义域与单调性

  学习平方根函数 y=√x:定义、图象、定义域 [0,∞)、值域 [0,∞)、单调递增,以及与 y=x² 的反函数关系和复合根式的定义域求法。

• 特殊函数:平方根族 - 平移与翻转,定义域变化

  学习平方根族的变换:垂直平移 y=√x+k、水平平移 y=√(x-h)、复合形式 y=√(x-h)+k、关于 x 轴和 y 轴的反射,以及定义域的变化规律。

• 特殊函数:倒数函数 y=1/x 双曲线、渐近线

  学习倒数函数 y=1/x:双曲线形状、两支分支位于第一与第三象限、垂直渐近线 x=0、水平渐近线 y=0、奇函数对称于原点。

• 特殊函数:从 f(x) 到 1/f(x) 的变换,六大规则

  学习如何从 f(x) 的图象画出 1/f(x):六大规则、零点变垂直渐近线、±1 不动点、单调性反转、符号保持,以及两个完整示例。

• 特殊函数:绝对值函数 |x|、V 形图、顶点平移

  学习绝对值函数 y=|x|:V 形图、顶点 (0,0)、对称于 y 轴、平移 y=|x-h|+k、反射 -|x|,以及距离公式和绝对值方程不等式的应用。

• 什么是函数定义域?三大限制与区间记号入门

  学习函数定义域的概念:直观生活例子、三大数学限制(不能除以零、不能负数开方、不能取非正对数),以及不等式和区间记号两种表达方式。

• 定义域 2:根式函数的定义域、10 个例子

  学习根式函数定义域:核心规则根号下的表达式必须非负,涵盖一次、二次、高次表达式,10 个详细例子配合符号表与抛物线草图。

• 定义域 3:有理函数(分式)的定义域、11 个例子

  学习有理函数定义域:核心规则分母不为零,涵盖一次、二次、高次、约分等情况,11 个详细例子助你掌握分母为零的所有处理方法。

• 定义域 4:根式与有理函数的组合、交集、13 例

  学习根式与有理函数组合的定义域:分母中的根号严格大于零,分子中的根号非负,通过求交集解决 13 个详细例子涵盖所有情况。

• 定义域 5:三角函数的定义域、tan、cot、13 例

  学习三角函数定义域:sin 和 cos 对所有 x 有定义,tan 在 π/2+kπ 处无定义,13 个详细例子涵盖根号、分母与复杂组合。

• 定义域 6:指数函数的定义域、e^x、15 例

  学习指数函数定义域:a^x 对所有 x 有定义,值域永远为正,限制仅来自根号或分母,15 个详细例子涵盖基础与复杂组合。

• 定义域 7:对数函数的定义域、ln、严格大于零、17 例

  学习对数函数定义域:核心规则对数内表达式严格大于零(不含零),涵盖一次、二次与复合情况,17 个详细例子配合 ln 与组合。

• 几何定理 1:基本角与三角形性质、六个定理

  学习教育部考试中可直接引用的六个基础几何定理:邻角、对顶角、三角形角和、外角、边角对应与三角不等式,配 SVG 直观图解。

• 几何定理 2:等腰三角形、底角、三线合一

  学习等腰三角形的五个核心性质:底角相等、顶角平分线与底边的高线、中线三条线段合一,以及识别等腰三角形的三个判定定理及应用。

• 几何定理 3:中位线、平行线、同位角与内错角

  学习三角形的中位线两个核心性质(平行于第三边且等于其一半)、平行线与截线形成的同位角、内错角、同旁内角及其判定和逆向定理。

• 几何定理 5:平行四边形、菱形、矩形的性质与判定

  学习平行四边形的几个核心性质:对边平行且相等、对角相等、两条对角线互相平分,以及菱形和矩形作为特殊情况的性质与判定方法和应用。

• Geometry Theorems – Trapezoid and Kite | Grade 9

  Trapezoid and kite theorems: isosceles trapezoid base angles and equal diagonals, midsegment formula (a+b)/2, and kite main diagonal properties.

• 几何定理 7:中线、角平分线、中垂线与高线

  学习三角形四类特殊线段:中线交于重心(2:1)、角平分线交于内心(内切圆心)、中垂线交于外心(外接圆心)、高线交于一点。

• 几何定理 8:圆——圆心角与圆周角、弦、直径

  学习圆的基本概念(弦、半径、直径、弧),圆心角与同弧圆周角的关系(圆周角等于圆心角的一半),以及直径所对圆周角等于 90 度。

• 几何定理 9:圆的切线与弦、两切线、两圆

  学习圆切线的核心性质:切线垂直于切点的半径、弦切角等于另一侧圆周角、外一点切线长相等,以及弦与中心距离的关系、两圆的连心线。

• 几何定理 10:勾股定理与直角三角形、30-60-90

  学习勾股定理(a²+b²=c²)及其逆定理、直角三角形斜边的中线性质,以及 30-60-90 特殊角三角形的边长比例 1:√3:2。

• 几何定理 11:泰勒斯定理与相似三角形、AA、SAS、SSS

  学习泰勒斯定理(平行截比例线段)、扩展定理、逆定理、角平分线定理,以及三角形相似判定 AA/SAS/SSS 与面积比 k²。

• 几何定理 12:圆中弦、割线与多边形、几何平均

  学习相交弦定理、外一点的割线与切线定理、直角三角形的几何平均关系,以及多边形内角和公式 (n-2)×180°、圆内接外切四边形性质。

• 几何小结:几何证明入门、命题与依据、证明结构

  学习几何证明的入门方法:每一步都有命题与依据的严密推理结构、常用论据(公共边、对顶角、全等),以及考试中的实用解题技巧。

• 几何小结:角的类型、邻角、对顶角、互补与周角

  学习角的基本分类:锐角(<90°)、直角(=90°)、钝角(90°—180°)、平角(=180°),邻角互补 α+β=180°,对顶角相等,周角和为 360°。

• 几何小结:三角形分类、等腰三角形、内角和、三角不等式

  学习三角形的基本分类(按边、按角)、等腰三角形的性质(底角相等、顶角平分线=高=中线)、内角和 180°、外角定理与三角不等式。

• 几何小结:三角形全等四大判定 SAS、ASA、SSS、SSA

  学习三角形全等的四大判定:SAS、ASA、SSS、以及两边加对较大边的角,常见误区(无 SSA 判定)与寻找公共边与公共角的技巧。

• 几何小结:三角形中的边与角、内角和、外角、三角不等式

  学习三角形中的关键关系:大边对大角、内角和 180°、外角等于两不相邻内角之和,以及三角不等式(任意两边之和大于第三边)。

• 几何小结:直角三角形与勾股定理、斜边中线、30-60-90

  学习直角三角形的核心定理:勾股定理 a²+b²=c² 与其逆定理、斜边中线等于半斜边,以及 30-60-90 三角形的边比 1:√3:2。

• 几何小结:面积与周长公式、三角形、平行四边形、菱形、圆

  学习平面图形的面积与周长公式:三角形、平行四边形、菱形、梯形与圆,以及圆的面积公式 S=πr²、周长公式 P=2πr=πd。

• 几何小结:四边形家族、平行四边形、梯形、菱形、风筝形

  学习四边形家族的层次结构(梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、风筝形),以及风筝形与等腰梯形的核心性质与中位线公式 m=(a+b)/2。

• 几何小结:平行线与截线、同位角、内错角、同旁内角

  学习平行线与一条截线所形成的角:同位角相等、内错角相等、同旁内角之和为 180°,以及用这三种关系证明两条直线平行的方法。

• 几何小结:平行四边形的定义、性质与判定

  学习平行四边形的定义、4 大性质(对边、对角相等,对角线互相平分,邻角之和 180°)以及 5 种判定平行四边形的方法。

• 几何小结:矩形、菱形、正方形的性质与判定

  学习矩形的对角线相等、菱形的对角线互相垂直且平分对角、正方形兼具矩形与菱形的所有性质,以及三种四边形的判定方法与面积公式。

• 几何小结:三角形中位线、性质、平行与一半定理

  学习三角形中位线的定义:连接两边中点的线段。它的两大性质 —— 平行于第三边、长度等于第三边的一半,以及两个相关逆定理。

• 几何小结:泰勒斯定理、相似三角形、AA、SAS、SSS

  学习泰勒斯定理、泰勒斯逆定理、角平分线定理、三种相似三角形的判定方法(AA、SAS、SSS),以及相似比 k 与面积比 k²。

• 几何小结:圆心角、圆周角、切线、内接四边形

  学习圆的基本概念(半径、直径、弦、弧、切线)与关键性质:圆周角 = ½ 圆心角、直径所对的圆周角 = 90°、切线 ⊥ 半径。

• 几何:线段的垂直平分线与三角形外接圆

  学习线段的垂直平分线:经过线段的中点且垂直于线段。核心定理 —— 垂直平分线上的点到两端的距离相等,以及它的逆定理及完整证明。

• 几何:三角形的外接圆、外心与三种三角形分类

  学习三角形的外接圆:任三点决定唯一的圆,三条垂直平分线交于一点 —— 外心,以及锐角、直角、钝角三角形中外心的不同位置。

• 几何:三角形的高、垂心、内切圆与内心

  学习内容:三角形的三条高交于垂心,三条角平分线交于内心 —— 即内切圆的圆心;并系统地对比外接圆与内切圆之间的几何区别。

• 几何:圆内接四边形与外切四边形定理对比

  本节学习:圆内接四边形 —— 对角之和恰好等于 180°;外切四边形 —— 对边之和相等;并系统对比这两类四边形与圆的几何关系。

• 几何:正多边形、内接圆与外接圆同心关系

  学习正多边形:所有边等长、所有内角相等;内角公式 (n-2)×180°/n;每个正多边形都同时有外接圆与内接圆,二者同心。

• 几何:圆心角、弧、弦之间的等价关系定理

  学习要点:在同一个圆中三大量之间的等价关系 —— 圆心角相等 ⟺ 弧相等 ⟺ 弦相等;并通过三角形全等系统证明这核心定理。

• 几何:弦到圆心的距离及其与弦长的关系

  学习要点:弦到圆心的距离 d;相等的弦距相等;弦越靠近圆心则越长;直径为最长的弦,其距离为零;通过勾股定理给出系统证明。

• 几何:圆心到弦的垂线及其性质与逆定理

  学习要点:从圆心到弦的垂线定理 —— 它能同时平分弦、平分圆心角、平分对应的弧;并系统掌握逆定理与勾股定理求弦长的方法。

• 几何:圆周角与圆心角的关系 —— 中心定理

  学习圆周角与圆心角之间的核心定理:同弧上的圆周角等于圆心角的一半;同弧上的所有圆周角彼此相等;并通过外角法给出系统证明。

• 几何:直径所对的圆周角 —— 直角定理

  学习要点:对应直径的圆周角必为 90°;逆定理表明 90° 的圆周角所对应的弦必为直径;直角三角形外接圆圆心在斜边中点。

• 几何:圆内角与圆外角 —— 弧和与弧差公式

  学习要点:圆内角与圆外角的公式 —— 内角等于两弧之和的一半;外角等于两弧之差绝对值的一半;并通过三角形外角法系统证明。

• 几何:圆的切线 —— 性质与定理总览

  学习要点:圆的切线及其核心性质 —— 切线垂直于过切点的半径;从圆外一点引出的两切线相等;弦切角等于另一侧的圆周角度数。

• 几何:两圆 —— 公共弦与相切

  学习两圆位置关系的核心定理:相交两圆的连心线必垂直平分两圆的公共弦;两圆相切时,其切点必落在两圆的连心线或其延长线之上。

• 几何:相交弦、割线、切线 —— 三个乘积定理

  学习三个乘积定理:圆内相交弦的两段乘积相等;圆外两割线 PA·PB=PC·PD;圆外切割线 PA·PB=PT²;并通过三角形相似法证明。

• 三角学 —— 角的基础与度弧制

  三角学入门概念:认识角的五大分类(锐角、直角、钝角、平角、优角);互余、互补与对顶角的关系;度数与弧度的互换公式与计算。

• 三角学 —— 三角形家族:分类与性质

  学习三角形的分类与性质:按边分类(等边、等腰、不等边);按角分类(锐角、直角、钝角);等腰三角形的对称轴与底角相等的性质。

• 三角学 —— 直角三角形:基础与特殊三角形

  认识直角三角形:斜边定义、两直角边的对边邻边、α+β=90°、斜边中线定理;以及两种特殊直角三角形 45-45-90 与 30-60-90 的边长比例。

• 三角学 —— 勾股定理:基础、应用与勾股数

  勾股定理 a²+b²=c²:求斜边、求直角边的两个应用;常用勾股数(3-4-5、5-12-13 等);勾股定理的逆定理与判定直角三角形。

• 三角学 —— 四边形家族:平行四边形、菱形、正方形

  认识四边形家族树:平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形的定义、对角线性质和层级关系;掌握对角线公式、等腰梯形与中位线公式。

• 三角学 —— 直角三角形中的 sin、cos、tan 定义

  在直角三角形中定义三角函数:sin=对/斜、cos=邻/斜、tan=对/邻;掌握 SOH-CAH-TOA 记忆技巧与 30°、45°、60° 特殊角值。

• 三角学 —— 应用:等腰三角形与等边三角形

  在等腰三角形与等边三角形中应用 sin、cos:求高、求半底、面积公式 S=(√3/4)a²,并通过例题练习 70° 等腰三角形。

• 三角学 —— 应用:矩形、菱形、正方形、梯形

  将四边形分解为直角三角形:矩形对角线、菱形 4a²=d₁²+d₂²、正方形对角线 a√2、梯形高 h=c·sin(α) 与面积公式。

• 三角学 —— 单位圆:超越 90° 的三角函数

  用单位圆把 sin、cos 扩展到所有角度:负角、大于 90°、大于 360° 的角;sin²+cos²=1 与三角函数的周期性。

• 三角学 —— 单位圆上 sin/cos 的正式定义

  在单位圆上正式定义 sin、cos:P=(cos α, sin α);0°、90°、180°、270°、360° 的值表与四象限的 sin、cos 符号。

• 三角学 —— 单位圆上的周期性与对称性

  三角函数的周期 2π 与三种对称性:sin 是奇函数、cos 是偶函数、sin(π-α)=sin α、sin(α+π)=-sin α 等公式与总结表。

• 三角学 —— 基本恒等式 sin²α + cos²α = 1

  三角学最重要的恒等式 sin²α+cos²α=1:由单位圆推导,sin²α=1-cos²α,例题 sin α=3/5 求 cos α=4/5。

• 三角学 —— 正弦与余弦函数的图像

  y=sin(x) 与 y=cos(x) 的图像、性质、零点、最大最小值,以及关系 cos(x)=sin(x+π/2) —— 余弦是正弦的平移。

• 三角学 —— sin/cos 函数的平移与伸缩

  y=A·sin(Bx+C)+D 形式下三角函数四个参数:振幅 |A|、周期 2π/|B|、水平平移 -C/B、垂直平移 D,并以例题说明。

• 三角学 —— 正切函数 tan(x)

  正切函数 tan(x)=sin(x)/cos(x):定义域排除 π/2+πn、值域 ℝ、周期 π、奇函数、tan(45°)=1 等特殊值。

• 三角学 —— 解方程 sin(ax+b) = m

  求解方程 sin(α)=m:条件 |m|≤1、通解 α=α₀+2πn 或 α=π-α₀+2πn,以及 sin(2x)=½ 等例题。

• 三角学 —— 解方程 cos(ax+b) = m

  求解方程 cos(α)=m:条件 |m|≤1、通解 α=±α₀+2πn(因为 cos 是偶函数),以及 cos(2x)=½ 的例题。

• 三角学 —— 解方程 tan(ax+b) = m

  求解方程 tan(α)=m 对任意 m 都有解:通解 α=α₀+πn,周期为 π,只有一个解(比 sin、cos 简单),以 tan(3x)=1 为例。

• 三角学 —— 复杂的三角方程

  复杂三角方程的三种方法:代换 t=sin/cos 解二次方程、提取公因式(不要除!)、用 sin²+cos²=1 转换。

• 三角学 —— 三角形面积公式 S = ½ab·sin(γ)

  三角形面积公式 S=½ab·sin(γ):由 sin(γ)=h/b 证明、三种等价变体、特殊情况(直角、等边)及完整例题。

• 三角学 —— 正弦定理

  正弦定理 a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C):由面积公式证明、何时使用、与外接圆半径 R 的关系 (=2R) 及例题。

• 三角学 —— 在直角三角形中求边或角

  如何在直角三角形中求边或角:识别对边/邻边/斜边、选择合适的三角函数、用反函数 arcsin/arccos/arctan 求角及例题。

• 三角学 —— 余弦定理

  余弦定理 c²=a²+b²-2ab·cos(γ):三种形式、与勾股定理的关系、何时使用(SAS、SSS)、与正弦定理的比较及完整例题。

• 三角学综述 —— 三角形面积公式

  三角形面积公式 S=½ab·sin(C) 完整综述:三种形式、证明、SAS/ASA/SSS 使用情况、例题、四边形与平行四边形面积、海伦公式。

• 三角学综述 —— 单位圆

  单位圆完整综述:定义 x²+y²=1、角度与弧度互换、四象限符号 (ASTC)、特殊角值、互补角关系及三角函数的周期性。

• 三角学综述 —— 三角函数图像

  三角函数图像完整综述:y=sin x、y=cos x、y=tan x 的图像与性质、变换 y=A·sin(Bx+C)+D 的振幅、周期、相位与位移。

• 三角学综述 —— 三角恒等式

  三角恒等式完整综述:勾股恒等式 sin²α+cos²α=1、和差角公式、二倍角公式、半角公式、和差化积公式及详细解题策略。

• 三角学综述 —— 三角方程

  三角方程完整综述:sin x=m、cos x=m、tan x=m 通解、复合方程 sin(ax+b)=m、特殊类型、区间解法与特殊值表。

• 三角学综述 —— 正弦定理

  正弦定理完整综述:a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R、AAS/ASA/SSA 三种情形、模糊情形分析、外接圆与详细例题。

• 三角学综述 —— 余弦定理

  余弦定理完整综述:a² = b² + c² - 2bc·cos α、SAS/SSS 应用、勾股定理推广、按余弦判断角的类型与例题。

• 三角学综述 —— 三角形面积公式

  三角形面积公式综述:S = ½ab sin C 三角公式、推导过程、平行四边形面积、海伦公式、外接圆与内切圆的面积公式。

• 平面几何 - 三角形的特殊线段介绍

  三角形特殊线段的完整介绍:中线、高、角平分线、中垂线四种线段、共点性质,以及重心、外心、内心、垂心的概念与生活中的应用举例。

• 平面几何 - 三角形中的中线

  三角形中线的完整介绍:中线定义、三条中线共点性质、2:1 分割比定理、面积均分定理、直角三角形斜边中线的特殊性质与数值例题。

• 平面几何 - 三角形中的角平分线

  三角形角平分线的完整介绍:定义、几何轨迹性质、三条角平分线共点、内心与内切圆的概念、内角平分线定理及其逆定理与生活应用举例。

• 平面几何 - 三角形中的中垂线

  三角形中垂线的完整介绍:定义、几何轨迹性质、三条中垂线的共点性质、外心与外接圆的概念、内切圆与外接圆的对比及生活应用举例。

• 平面几何 - 三角形中的高

  三角形中高的完整介绍:定义、不同类型三角形中高的位置、三条高共点的性质、垂心的概念、四种共点的总结对比及生活中的应用举例。

• 平面几何 - 什么是三角形相似?

  三角形相似的完整介绍:相似的直观概念、数学定义、相似比 k 的含义、相似与全等的对比、如何识别对应边和对应角及数值例题。

• 平面几何 - 三角形相似 AA 定理(角-角)

  三角形相似 AA 定理的完整介绍:定理内容、为什么两个角就够了、判断相似的例题、用相似计算边长及测量树高的生活应用举例。

• 平面几何 - 三角形相似 SSS 和 SAS 定理

  三角形相似 SSS 和 SAS 定理的完整介绍:定理内容、判断相似的例题、三种相似定理的对比表格和相似与全等之间的比较。

• 平面几何 - 相似三角形中的比例

  相似三角形中各种比例的完整介绍:周长比、面积比 k² 、高与中线、角平分线的比例、汇总表格及照片放大的生活实际应用举例。

• 平面几何 - 综合总结与应用

  平面几何综合总结:四种特殊线的完整对比表格、三种相似定理、相似中的比例 k 与 k²、综合练习题与生活应用以及考试技巧。

• 代数基础 - 幂的运算法则

  幂的五大运算法则的完整介绍:同底数幂的乘法与除法、幂的乘方、积与商的乘方、五条法则的汇总对比表格以及常见错误的避免方法。

• 微观经济学 - 基本概念:经济产品、生产要素与稀缺

  微观经济学基本概念入门:稀缺现象与三个基本经济问题、微观经济学的定义、经济产品、生产要素和选择等核心概念的完整概述介绍。

• 生产可能性曲线 - 定义、模型假设与生产组合

  生产可能性曲线(PPF)入门:模型的四个基本假设、曲线的图示、生产组合的概念、曲线的四个组成部分以及数值例题的完整介绍。

• 微观经济学 - 比较优势与绝对优势

  比较优势与绝对优势入门:两个核心概念的定义与区别、详细的计算例题、重要规则、生产可能性曲线的类型以及曲线的完整构建步骤。

• 微观经济学 - 国际贸易

  国际贸易入门:为什么贸易值得、两种贸易类型、两个经济体之间的贸易、与世界市场的贸易、贸易决策流程以及贸易收益的完整计算。

• 微观经济学 - 机会成本

  机会成本入门:什么是机会成本、三种机会成本类型、总成本、平均成本与边际成本的计算公式、完整的例题以及成本之间的反向关系。

• 微观经济学 - 生产函数与生产要素配置

  生产函数入门:总产量TP、平均产量AP、边际产量MP的定义与公式、MP与TP及AP的关系、边际产量递减规律以及工人在机器之间的配置。

• 微观经济学 - 生产成本

  生产成本入门:固定成本FC、变动成本VC、总成本TC的定义、边际成本MC与MP的关系、总收益TR以及利润的完整计算公式。

• 微观经济学 - 平均成本及其关系

  平均成本入门:平均变动成本AVC、平均固定成本AFC、平均总成本ATC的定义、它们之间的关系以及MC与各平均成本的关系。

• 微观经济学 - 生产者供给与生产者剩余

  生产者供给入门:生产者剩余的定义与计算方法、它与利润之间的关系、边际收益MR、利润最大化的最优产量条件以及边际利润分析。

• 微观经济学 - 供给曲线 - 短期与长期

  供给曲线入门:短期与长期的区别、生产者在每个期间所做的生产决策、供给曲线从何处开始、以及沿曲线移动与曲线本身移动的区别。

• 微观经济学数学基础 - 面积计算

  微观经济学数学基础入门:三角形、矩形与梯形的面积计算公式、它们在经济学中的各种具体应用以及消费者剩余的详细完整计算示例。

• 微观经济学数学基础 - 分离变量与变换公式

  微观经济学数学基础入门:分离变量的基本原理、逆运算的具体使用方法、需求函数与供给函数之间的变换以及常见经济公式的变形方法。

• 微观经济学数学基础 - 分数运算

  微观经济学数学基础入门:分数的基本结构、分数的乘除与加减运算、分数与小数之间的相互转换以及在需求弹性等经济学中的具体应用。

• 微观经济学 - 需求曲线 - 沿曲线移动与曲线移动

  微观经济学需求曲线入门:需求曲线的定义、需求法则、沿曲线移动与曲线本身移动之间的区别以及导致需求曲线移动的各种主要因素。

• 微观经济学 - 按收入划分的商品类型

  微观经济学入门:按收入划分的三种商品类型 — 正常商品、劣等商品与中性商品的定义、识别方法以及收入变化对各类商品需求的影响。

• 微观经济学 - 商品之间的关系

  微观经济学入门:商品之间的三种关系 — 替代品、互补品与独立商品的定义、识别方法以及一种商品价格变化对另一种商品需求的影响。

• 微观经济学 - 消费者剩余

  微观经济学入门:消费者剩余的定义、图形表示方法、三角形面积的计算方法以及价格变化对消费者剩余的影响和它所衡量的福利意义。

• 微观经济学 - 市场均衡

  微观经济学入门:总需求与总供给曲线、市场均衡价格的定义、价格偏离均衡时的供给与需求过剩以及如何用代数方法准确求解市场均衡。

• 微观经济学 - 市场均衡的变化

  微观经济学入门:导致市场均衡变化的因素、供给曲线与需求曲线单独移动或同时移动时对均衡价格和数量的影响以及完整的总结表格。

• 微观经济学 - 需求与供给的弹性

  微观经济学入门:需求与供给弹性的定义、计算公式、弹性的分类、弹性与货币收入的关系、几种特殊情况以及弧弹性的具体计算方法。

• 微观经济学 - 社会福利

  微观经济学入门:社会福利的组成部分、消费者剩余与生产者剩余之和的图形表示、计算方法以及竞争性均衡使社会福利最大化的原理。

• 微观经济学 - 劳动力市场与派生需求

  微观经济学入门:劳动力市场的基本结构、派生需求的核心概念、劳动需求曲线VMPL、最优雇佣规则以及边际产量递减法则的原理。

• 微观经济学 - 产品市场与劳动力市场的相互关系

  微观经济学入门:产品市场与劳动力市场之间的相互关系、产品价格的变化、技术上的进步以及工人数量变化对工资和就业的具体影响。

• 微观经济学 - 劳动力市场中的重要面积

  微观经济学入门:劳动力市场中的重要面积、雇主剩余与工人剩余的定义、图形的具体表示方法、数字计算以及与产品市场之间的对比。

• 微观经济学 - 政府干预:在封闭经济中征税

  微观经济学入门:政府干预、在封闭经济中征税对供给曲线的影响、税负在消费者与生产者之间的分配、无谓损失以及政府的税收收入。

• 微观经济学 - 政府干预:在封闭经济中给予补贴

  微观经济学入门:政府干预、在封闭经济中给予补贴对供给曲线的影响、补贴在消费者与生产者之间的具体分配以及补贴与税收的比较。

• 微观经济学 - 政府干预:开放经济 - 进口与出口

  微观经济学入门:政府干预、开放经济、世界价格的概念、何时进口与何时出口、进口与出口对消费者剩余以及社会总福利的具体影响。

• 微观经济学 - 政府干预:进口关税与出口补贴

  微观经济学入门:政府干预、进口关税与出口补贴对市场价格、本地生产、消费以及社会总福利的具体影响,以及二者之间的详细比较。

• 微观经济学 - 第6章:垄断

  微观经济学第6章入门:什么是垄断、垄断的主要特征、垄断的需求曲线、利润最大化规则、与完全竞争之间的详细比较以及无谓损失。

• 微观经济学 - 第6章:公共物品

  微观经济学第6章入门:物品的两种分类标准、纯公共物品的概念、搭便车问题、政府干预的解决方案以及公共物品需求的垂直加总法。

• 微观经济学 - 第6章:外部性

  微观经济学第6章入门:什么是外部性、负外部性与正外部性之间的区别、解决外部性的几种方案、庇古税以及科斯定理的核心思想方法。

• 微观经济学 - 第7章:博弈论基础概念

  微观经济学第7章入门:什么是博弈论、基本博弈的组成要素、支付矩阵的读法、占优策略与劣势策略之间的区别以及占优策略下的均衡。

• 微观经济学 - 第7章:囚徒困境与纳什均衡

  微观经济学第7章入门:经典的囚徒困境故事、支付矩阵的详细分析、纳什均衡的定义、寻找纳什均衡的方法以及现实世界中的经济应用。

• 微观经济学 - 第7章:行为经济学

  微观经济学第7章入门:什么是行为经济学、古典经济学与行为经济学之间的对比、主要的认知偏差、心理账户、公平性以及助推理论。

• 微观经济学 - 第8章:价值与时间 - 基础概念

  微观经济学第8章入门:货币的时间价值的概念、复利与折现这两个方向、现值与终值的基础计算公式以及投资项目的可行性判断规则。

• 微观经济学 - 第8章:价值与时间 - 折现运算

  微观经济学第8章:折现运算的基础计算公式、折现系数表的具体读法、对收款进行折现的详细示例以及利率对投资项目可行性的影响。

• 微观经济学 - 第8章:净现值 - NPV

  微观经济学第8章:净现值 NPV 的计算公式、具体决策规则、完整的计算示例、不同利率下的比较以及如何在两项投资之间做选择。

• 宏观经济学 - 基础概念与同微观经济学的区别

  宏观经济学导论:微观经济学与宏观经济学之间的主要区别、流量变量与存量变量之间的对比,以及内生变量与外生变量这两类重要变量。

• 宏观经济学 - 国内生产总值与增加值

  宏观经济学:产出的定义、国民生产总值与国内生产总值之间的主要区别、毛产出与净产出的对比、增加值的概念以及产出的核算规则。

• 宏观经济学 - 利润表

  宏观经济学:利润表的具体结构、如何从利润表中计算出增加值、四种生产要素及其各自的收入、要素收入的概念以及私人消费的计算。

• 宏观经济学 - 政府预算与来源用途表

  宏观经济学:政府预算的具体结构、政府的各种支出与收入种类、财政赤字的概念、来源用途表以及封闭经济与开放经济中的产出公式。

• 宏观经济学 - 资本形成表与名义产出和实际产出

  宏观经济学:资本形成表的结构、三种类型的储蓄、可支配收入、封闭与开放经济中的储蓄投资关系,以及名义产出与实际产出之间的区别。

• 宏观经济学 - 投资函数

  宏观经济学:投资的具体定义、投资的各种类型、影响投资决策的各项因素、利率为何会影响投资,以及自主投资与引致投资之间的区别。

• 宏观经济学 - 私人消费函数与储蓄函数

  宏观经济学:可支配收入、私人消费与储蓄之间的基本关系、私人消费函数的具体结构、四种消费与储蓄倾向,以及个人储蓄函数的推导。

• 宏观经济学 - 消费曲线:移动与总消费

  宏观经济学:沿消费曲线的移动与曲线本身的移动、利率对私人消费与个人储蓄的影响,以及收入的分配如何影响经济中的总消费规模。

• 宏观经济学 - 投资可行性:净现值(NPV)

  宏观经济学:企业如何决定一项投资是否值得进行、现值与净现值(NPV)的具体计算方法、最终决策规则,以及利率对NPV的影响。

• 宏观经济学 - 简单凯恩斯模型:总需求与乘数

  宏观经济学:简单凯恩斯模型的基本假设、用产出表示的私人消费、总需求(AD)、均衡产出的求解,以及国民收入乘数的具体机制。

• Economics – Equilibrium, Output Gaps and Paradox of Thrift

  Full-employment output YF, deflationary gap (gap/k), inflationary gap, and paradox of thrift: saving intent rises but total saving stays at I.

• 宏观经济学 - 财政政策(预算政策)

  宏观经济学:什么是财政政策、扩张性政策与紧缩性政策、政府支出乘数与税收乘数、平衡预算乘数,以及定额税与比例税之间的关键区别。

• 宏观经济学 - 货币与银行体系:基本概念与银行资产负债表

  宏观经济学:经济中的货币与银行体系 — 中央银行、商业银行、基础货币、准备金、活期存款、存款乘数,以及银行资产负债表的构建。

• 宏观经济学 - 内部注入与外部注入

  宏观经济学:银行体系中的内部注入与外部注入 — 存款、取款,以及它们对基础货币与货币量的不同影响,还有银行挤兑这一现象。

• 宏观经济学 - 中央银行的工具

  宏观经济学:中央银行影响货币量 M 的各种工具 — 买卖债券与外汇、调整准备金率、货币利率,以及扩张性与紧缩性货币政策。

• 宏观经济学 - 中央银行的工具 2

  宏观经济学:中央银行用于货币政策的各种工具 — 买卖债券与外汇、调整准备金率、变动货币利率,以及对各家商业银行发放的贷款。

• 宏观经济学 - 货币市场:基本概念

  宏观经济学:货币市场的基本概念 — 实际余额、名义余额、利率、价格水平,以及货币的供给与需求,还有货币市场的坐标系示意图。

• 宏观经济学 - 货币需求曲线

  宏观经济学:货币需求曲线 — 沿着曲线移动与整条曲线发生移动这两者之间的区别,以及利率、产出和公众偏好对货币需求的影响。

• 宏观经济学 - 货币供给与均衡

  宏观经济学:货币的供给曲线、中央银行用于影响货币量的工具、货币市场的均衡,以及利率如何在供给与需求的交汇之处被决定。

• 宏观经济学 - IS-LM 综合模型

  宏观经济学:IS-LM 综合模型 — 产品市场与货币市场如何相互连接,利率与产出之间的关系,以及两个市场之间的传导机制。

• 宏观经济学 - 综合模型:处于失业状态的封闭经济

  宏观经济学:处于失业状态的封闭经济中的综合模型 — 扩张性财政政策与扩张性货币政策的对比,以及挤出效应是如何运作的。

• 宏观经济学 - 综合模型:处于充分就业的封闭经济

  宏观经济学:处于充分就业状态的封闭经济中的综合模型 — 通货膨胀缺口、货币中性,以及为什么扩张性政策只会带来通货膨胀。

• 宏观经济学 - 第七单元:国际收支平衡表

  宏观经济学:国际收支平衡表 — 复式记账原则、经常账户与资本账户的结构、交易记录的示例,以及如何计算各账户的余额。

• 宏观经济学 - 第七单元:外汇市场 - 基础

  宏观经济学:外汇市场的基础知识 — 汇率、货币的贬值与升值、外汇的需求曲线与供给曲线,以及资本流动在其中的作用。

• 宏观经济学 - 第七单元:外汇市场的均衡与事件

  宏观经济学:外汇市场的均衡与事件 — 均衡汇率是如何决定的、各类经济事件如何影响汇率,以及对相反方向事件的分析。

• 宏观经济学 - 第八章:实际意义上的外汇市场

  宏观经济学:实际意义上的外汇市场 — 实际汇率 e/P、外汇的需求曲线与供给曲线、资本流动,以及市场均衡的分析。

• 宏观经济学 - 第八章:综合模型 — 处于失业状态的开放经济

  宏观经济学:综合模型 — 处于失业状态的开放经济中,商品市场、货币市场与外汇市场如何相互联系,以及财政与货币政策的影响。

• 宏观经济学 - 第八章:综合模型 — 充分就业(Yf)

  宏观经济学:综合模型 — 在充分就业(Y=Yf)下,扩张性政策如何引起通货膨胀,以及货币中性与完全挤出的概念。

• 统计学:中心与离散度量 — 基本概念

  描述统计学的基本概念:总体、样本、变量与测量量表,配有完整的解释与丰富的示例。

• 统计学:集中趋势度量(中心位置)

  统计学中的集中趋势度量:平均数、中位数与众数。配有公式、计算与详细的示例。

• 统计学:离散度量(离散程度)

  统计学中的离散度量:极差、方差、标准差、变异系数。配有详细的公式与计算。

• 统计学:正态分布入门

  正态分布入门:钟形曲线、性质、参数 μ 与 σ。配有完整的解释与示意图。

• 统计学:标准分(Z 分数)与 Z 表

  正态分布中的标准分 Z:公式、计算、Z 表的使用。配有详细的示例。

• 统计学:正态分布的反向问题 — 从概率求分数

  正态分布中的反向问题:已知概率时求出 X 值。配有解题方法与示例。

• 统计学:名义变量的关联度量

  名义变量的关联度量:Lambda 度量、Cramer 度量、Phi 度量。配有完整的公式与示例。

• 统计学:皮尔逊相关系数与回归分析

  皮尔逊相关系数:公式、协方差、预测线、线性回归。配有详细的解释与示例。

• 统计学:有序变量的斯皮尔曼相关系数

  有序变量的斯皮尔曼相关系数:公式、秩的计算、详细示例。

• 代数:平方根的定义域(抛物线草图)

  通过抛物线草图求解平方根函数的定义域:微笑抛物线与悲伤抛物线的两个示例,加上规则汇总。

• 概率:有放回的概率树示例

  有放回的概率树示例:从一次抽取到三次抽取的三个层次,带有完整的树形图与解释。

• 概率:不放回的概率树示例

  不放回的概率树示例:与有放回情形的比较,概率如何随每次抽取而改变,详细对照表与黄金法则。

• 代数:验证草图 - 平方根的定义域

  验证平方根定义域的草图:数轴示例(向右、向左)以及微笑抛物线和悲伤抛物线 - 共四个完整示例。